Последняя Теорема Ферма

Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Уайлсом.

Формулировка

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального n > 2 уравнение $a^n+b^n=c^n\,\!$ не имеет натуральных решений a, b и c.

История

Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях «Арифметики» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст (лат.)  

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3,^[1] Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. После Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». ^[2] Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра. ^[3]).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать.^[4] В 1995 году был опубликован завершающий вариант.^[5]

«Ферматисты»

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое доказательство. Людей, вопреки здравому смыслу пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками».^[6] Ферматисты зачастую не владеют основами математической культуры и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощренные «доказательства», в которых трудно найти ошибку. Положительным примером неудавшего доказательства теоремы Ферма могут служить результаты Куммера, которые хотя и содержали ошибку, в то же время дали толчок развитию алгебраической теории чисел.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил ее следующей припиской:^[6]

Редакция «Кванта» со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации.^[7][8]

Теорема Ферма в культуре и искусстве

• В повести Е. Велтистова «Победитель невозможного» друг Сыроежкина и Электроника Вова Корольков в качестве свободного задания по математике решил Великую теорему Ферма.
• В повести М. Анчарова «Самшитовый лес» главный герой Сапожников приводит доказательство Великой теоремы Ферма для n=3.
• В телесериале Звёздный Путь, капитан космического корабля USS Энтерпрайз (NCC-1701-D) Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине 24 века, о чем он поведал в начале серии своему первому помощнику. Таким образом создатели фильма предрекали что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшее время. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Джон Уайлс был в самом начале своих работ. Решение теоремы найдено всего спустя 5 лет, а не более 400 лет, как показали в сериале Звездный Путь.
• В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол»^[9] профессор Саймон Флегг просит помощи дьявола в доказательстве теоремы, но и дьявол оказывается бессилен. По этому рассказу был также снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972 режиссёр Райтбурт).^[10]
• В рассказе Сергея Снегова «Умершие живут» теорема в 25 веке является ещё недоказанной.
• В романе Сергея Лукьяненко «Звезды — холодные игрушки» представитель цивилизации Счётчиков утверждает, что знает контрпример к теореме, но не оглашает его.
• В 15 серии известного аниме Lucky Star на 9—10 минуте присутствует момент, когда семья Цукасы и Кагами смотрят телевикторину. Один из вопросов звучал: «Одна из сложнейших математических теорем доказанная в 1994 году сэром Уайлсом из Пристона — это…»
• В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире, в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая невинное уравнение 1782¹² + 1841¹² = 1922¹². Обычный калькулятор подтверждает это равенство. Корень 12-й степени из 1782¹²+1841¹², если верить калькулятору, равен 1922. Тем не менее, легко увидеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть чётна. В этом нет никакого парадокса, всё дело в погрешности калькулятора.

1782¹² ≈ 1025397835622630000000000000000000000000

1841¹² ≈ 1515812422991960000000000000000000000000

1782¹² + 1841¹² ≈ 2541210259314800000000000000000000000000

              1922¹² ≈ 2541210258614590000000000000000000000000

• В пьесе Тома Стоппарда «Аркадия» Септимус Ходж, домашний учитель Томасины Каверли, даёт ей задание найти доказательство теоремы Ферма.
• В фильме «Женщин обижать не рекомендуется» (Россия, 2000) главная героиня — школьный учитель математики Вера пресекает рассуждения ученика, мотивируя это тем, что теорема Ферма недоказуема.
• В фильме ужасов «Западня Ферма́» (исп. La habitación de Fermat) (Испания, 2007) четверо выдающихся математиков попадают в западню к незнакомцу, именующему себя Ферма.

См. также

• Малая теорема Ферма

Примечания

1. ↑ Ю. Ю. Мачис О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82. — № 3. — С. 395-400.. Английский перевод: J. J. Mačys (2007). "On Euler’s hypothetical proof". Mathematical Notes 82 (3-4): 352-356. DOI:10.1134/S0001434607090088. Шаблон:MR.
2. ↑ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem". Annals of Mathematics 141 (3): 443—551. (англ.)
3. ↑ Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4. — № 2. — С. 135–138.
4. ↑ Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras". Annals of Mathematics 141 (3): 553—572.(англ.)
5. ↑ Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 199—200.
6. ↑ ^{1 2} Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23-25.
7. ↑ Теоремой — по ракетам!
8. ↑ ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?
9. ↑ A. Porges (1954). "Devil and Simon Flagg". The Magazine of Fantasy and Science Fiction.. Русский перевод: А. Порджес Саймон Флэгг и дьявол // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 17-22. (альтернативная ссылка)
10. ↑ Игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» часть 1, часть 2 (СССР, 1972 режиссёр Райтбурт).

Литература

На русском

• С.Сингх. «Великая теорема Ферма», М.:МЦНМО, 2000.
• Ф.Кирсанов. «История Великой Теоремы Ферма»
• Дмитрий Абраров Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса

На английском

• Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS (42) (7), 743—746.
• Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat’s last theorem. The history of the problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• Shay, David (2003). Fermat’s last theorem. The story, the history and the mystery. Retrieved Aug. 5, 2004.
• The Moment of Proof : Mathematical Epophanies, by Donald C. Benson; Oxford University Press; ISBN 0-19-513919-4 (paperback, 1999)