Полная производная

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид $f(t, u, v, \dots, z)$ и ее аргументы зависят от времени: $u=u(t, x_1, \dots, x_n), v=v(t, x_1, \dots, x_n), \dots, z=z(t, x_1, \dots, x_n)$. Тогда $f(t,u,v,\dots,z)=g(t,x_1,\dots,x_n)$, где $x_1,\dots,x_n$ — параметры задающие траекторию. Полная производная функции f (в точке $(t,u,v,\dots,z)$) в таком случае равна частной производной g по времени (в соотвествующей точке $(t,x_1,\dots,x_n)$) и может быть вычислена по формуле ${ df \over dt }=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}+\dots + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t}$,
где $\frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial u}, \dots, \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial u}{\partial t}, \dots, \frac{\partial z}{\partial t}$ — частные производные. Следует отметить, что обозначение $\frac{df}{dt}$ является условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Например, полная производная функции f(x(t),y(t)):

${ df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt }$

Здесь нет ${ \partial f \over \partial t }$ так как f сама по себе не зависит от t.