Полная вариация

Полная вариация

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в \R^n является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в \R^n этой функцией.

Содержание

Определение

Пусть f:[a,\;b]\to\R^n. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции f на отрезке [a,\;b] называется следующая величина:

V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка [a,\;b] длин ломаных в \R^n, концы которых соответствуют значениям f в точках разбиения.

Связанные определения

  • Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается V[a,\;b] или просто V.
    • В таком случае определена функция v(x)=V_a^x f, называющаяся функцией полной вариации для f.
  • Положительная вариация вещественнозначной функции f на отрезке [a,\;b] называется следующая величина:
    P_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_k)\}.
  • Аналогично определяется отрицательная вариация функции:
    N_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_k)-f(x_{k+1})\}.
  • Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы
    V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f.

Свойства функций ограниченной вариации

  • Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из V будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу V), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке [a,\;b].
  • Если a<x\leqslant y<b, а f\in V[a,\;b], то V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f.
  • Если функция f непрерывна в точке a справа и принадлежит V[a,\;b], то \lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0.
  • Функция f(x), заданная на отрезке [a,\;b], является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на [a,\;b] функции (разложение Жордана).
  • Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
  • Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом[1][2].

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция f:[a,\;b]\to\R^n принадлежит классу C1, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке [a,\;b], то f — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

\int\limits_a^b\|f^\prime(x)\|\,dx,

то есть равна интегралу нормы производной.

История

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом[1].

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье -периодичических функций класса V[0,\;2\pi] сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения

Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:

Φ-вариация функции

Рассматривается также класс V_\Phi[a,\;b], который определяется следующим образом:

V_{\Phi\,a}^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{a\leqslant x\leqslant b}\sum\limits_{k=1}^n\Phi(|f(x_k)-f(x_{k-1}|),

где Φ(x) (x\geqslant 0,\;\Phi(0)=0) — положительная при x > 0 монотонно возрастающая непрерывная функция;

a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b — произвольное разбиение отрезка [a,\;b].

Величина  V_{\Phi\,a}^b f называется Φ-вариацией функции f(x) на отрезке [a,\;b].

Если V_{\Phi\,a}^b f<\infty, то функция f(x) обладает ограниченной Φ-вариацией на отрезке [a,\;b]. Класс всех таких функций обозначается через V_\Phi[a,\;b] или просто как VΦ[3]. Определение класса V_\Phi[a,\;b] предложено Л. Янгом[4] (L. С. Yоung).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом Φ(x) = x. Если Φ(x) = xp при 1<p<\infty, то получаются классы Vp Н. Винера[5] (N. Wiener).

Свойства

Если рассмотреть две функции Φ1(x) и Φ2(x) такие, что

\varlimsup_{x\to 0^+}\frac{\Phi_1(x)}{\Phi_2(x)}<\infty,

то для их Φ-вариаций справедливо отношение:

V_{\Phi_2}[a,\;b]\subset V_{\Phi_1}[a,\;b].

В частности,

V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha})}\subset V_{\exp(-x^{-\beta})}

при 1\leqslant p<q<\infty,\;0<\alpha<\beta<\infty.

См. также

Литература

  • Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
  • Hатансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
  • Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.

Примечания

  1. 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
  2. Hатансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238. — 484 с.
  3. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 287. — 936 с.
  4. Yоung L. С. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1937. — t. 204. — № 7. — p. 470—472.
  5. Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. — 1924. — v. 3. — p. 72—94.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Полная вариация" в других словарях:

  • ПОЛНАЯ ВАРИАЦИЯ — функции то же, что вариация функции …   Математическая энциклопедия

  • Вариация функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация. В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из… …   Википедия

  • ПОЛНАЯ МЕРА — мера m на s алгебре S, для к рой равенство |m|(A)=0 влечет за собой для всякого . Здесь |m| полная вариация m (для положительной меры |m| = m). л. п. Терехин …   Математическая энциклопедия

  • вариация — вариация, вариации, вариации, вариаций, вариации, вариациям, вариацию, вариации, вариацией, вариациею, вариациями, вариации, вариациях (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • Отрицательная вариация — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия

  • Положительная вариация — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия

  • ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ВАРИАЦИЯ — метод решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод позволяет записать в замкнутой форме общее решение неоднородной системы, если известно общее решение соответствующей однородной системы. Идея… …   Математическая энциклопедия

  • Изменение функции — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия

  • Полное изменение — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия

  • Полное изменение функции — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»