Тождество Эйлера (кватернионы)

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.

Действительно:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)*(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\,$

$=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\,$

$+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,$

Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если $a_i$ и $b_i$ — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

$|ab|= |a||b|$.

Аналогичные тождества

• «тождество одного квадрата»

$a^2\cdot b^2=(a b)^2$

означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:

$|ab|= |a||b|$,

• «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)

$(a_1^2+a_2^2)\cdot(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2$

означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:

$|ab|= |a||b|$,

• «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:

  $|ab|= |a||b|$.

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для $2^N$ квадратов при любом натуральном N) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.^[1]

История

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за 100 лет до появления кватернионов.

Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

1. ↑ См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Гл.7 (п.23.2)

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

</noinclude>