Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с Дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.

Математически преобразование можно осуществить умножением вектора на матрицу преобразования. При этом матрица обратного преобразования с точностью до множителя равна транспонированной матрице. В математике матрицы выбирают так, чтобы преобразование было ортонормированным, а постоянный множитель равен единице. В компьютерных приложениях это не всегда так.

Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:

$\mathrm{DCT}\text{-}1_n= \left[\cos kl\tfrac{\pi}{n-1}\right]_{0\leq k,l<n}$

$\mathrm{DCT}\text{-}2_n= \left[\cos k(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n}$

$\mathrm{DCT}\text{-}3_n= \left[\cos (k+\tfrac{1}{2})l\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n}$

$\mathrm{DCT}\text{-}4_n= \left[\cos (k+\tfrac{1}{2})(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n}$

Именно $\mathrm{DCT}\text{-}2$ чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».

$\mathrm{DCT}$ для вектора из 8 чисел часто называют $\mathrm{DCT}\text{-}2_8$. Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности $\mathrm{DCT}\text{-}2_8$ сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.

Существуют алгоритмы быстрого $\mathrm{DCT}$-преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для $\mathrm{DCT}\text{-}2_8$ и других вариантов $\mathrm{DCT}$ с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.

Существуют аналоги $\mathrm{DCT}$, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить эффективность вычислений. Преимущество таких аналогов — более высокая скорость.

Литература

• C. Loeffler, A. Ligtenberg and G. Moschytz. Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications // Proc. Int’l. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1989 (ICASSP '89), pp. 988—991.

Ссылки

• Список статей по ДКП и альтернативным преобразованиям
• About JPEG: Discrete Cosine Transform
• The Discrete Cosine Transform (DCT)