- Остроградского формула
-
Теорема Остроградского — Гаусса — утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n-кратным интегралом по области и (n − 1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,...,vn) есть векторное поле на , такое что функции vi вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области Ω, граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n − 1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали ν.
Тогда формула Остроградского имеет вид
где
есть дивергенция поля V.
Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме имеет вид
,
то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.
Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объём, то есть замкнутых, таких как поверхность воздушного шарика, и не применима к поверхностям, таким как воздушный шар с подогревом.
В работе Остроградского формула записана в следующем виде,
,
где ω и s дифференциалы объёма и поверхности. В современной записи ω = dΩ — элемент объема, s = dS — элемент поверхности. — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.
История
Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На n-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла. При n = 3 для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813, поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Что интересно, в западной литературе порядок фамилий изменён — она именуется как «теорема Гаусса — Остроградского». Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.
Литература
- Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
- Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)
Wikimedia Foundation. 2010.