Равномерная непрерывность

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Определения

Равномерная непрерывность числовых функций

Основная статья: Непрерывная функция

Числовая функция вещественного переменного $f:M \subset \R \to \R$ равномерно непрерывна, если

$\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).$

Здесь важно, что выбор $\delta$ зависит только от величины $\varepsilon$.

Равномерная непрерывность отображений метрических пространств

Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho_X)$ и $(Y,\varrho_Y).$

Отображение $f\colon X \to Y$ называется равноме́рно непреры́вным на подмножестве $M \subset X,$ если

$\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon\bigr).$

Свойства

• Функция, равномерно непрерывная на множестве $M$ непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
• (Теорема Кантора — Гейне) Функция, непрерывная на отрезке (компакте), равномерно непрерывна на нём.
• Любое липшицево отображение равномерно непрерывно.

Пример

• Функция

$f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как существует $\varepsilon>0$ такое, что можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на $\varepsilon.$

• Другой пример: функция

$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

$\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$

Всегда можно выбрать $\varepsilon>0$ для любого отрезка сколь угодно малой длины $\varepsilon/x$ такое, что разница значений функции $f(x)=x^2$ на концах отрезка будет больше $\varepsilon.$ В частности, на отрезке $\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$ разница значений функции стремится к $2\varepsilon.$

См. также

• Модуль непрерывности;
• Равностепенная непрерывность.