- Окружность Эйлера
-
В геометрии треугольника окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:- Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
- Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.
- (теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Содержание
История
Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано в 1821 году, но есть указания на то, что оно было известно и ранее.
См. также
Ссылки
Литература
- Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
- Г. С. М. Коксетер, С. П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 1978 {DjVu • XML}
Wikimedia Foundation. 2010.