Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

$\infty-\infty$

$\frac{\infty}{\infty}$

$\frac{0}{0}$

$~0^0$

$1^\infty$

$\infty^0$

$0\cdot\infty$

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов $~0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$ пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

$~0^0=e^{0\cdot ln{0}}=e^{0\cdot\infty}$

$~1^\infty=e^{\infty\cdot ln{1}}=e^{\infty\cdot 0}$

$~\infty^0=e^{0\cdot ln{\infty}}=e^{0\cdot\infty}$

Для раскрытия неопределённостей типа $\frac{\infty}{\infty}$ используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа $\frac{0}{0}$ существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа $\infty-\infty$ иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть $f(x) \xrightarrow{x\to a} \infty$ и $g(x) \xrightarrow{x\to a} \infty$

$\lim_{x \to a} [f(x)-g(x)]=[\infty-\infty] = \lim_{x \to a} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right )= \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{1}{f(x)}}=\left [ \frac{0}{0} \right ]$

Пример

• «Замечательный предел» $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ — пример неопределённости вида $0/0$. По правилу Лопиталя

  $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$