Никомах

Никомах из Герасы (Νικόμαχος ὁ Γερασένος) (1-я пол. 2 в. н. э.) — видный представитель неопифагореизма. Биографических сведений о Никомахе не сохранилось. Годы жизни Никомаха определяются с учетом хронологии Трасилла Александрийского (ум. 36 н. э.), которого Никомах цитирует, и Апулея (124—175 н. э.), переводившего Никомаха на латынь. Гераса, в которой жил Никомах, — это совр. Джераш на севере Иордании.

Сочинения

Полностью сохранились Введение в арифметику (Ἀριθμηθικὴ εἰσαγωγῆ) и Руководство по гармонике (Ἁρμονικὸν ἐγχειρίδιον). Теологумены арифметики известны в пересказе Фотия и, кроме того, по фрагментам, включенным в анонимные Теологумены арифметики (компиляция, выполненная на основе сочинения Ямвлиха с выдержками из Никомаха и Анатолия, учителя Ямвлиха). Жизнь Пифагора Никомаха впоследствии использовали в своих сочинениях на ту же тему Порфирий и Ямвлих. Утрачены упоминаемые Никомахом Введение в геометрию, комментарий к Государству Платона и «большое сочинение» по гармонике.

Учение

По своим философским взглядам Никомах — приверженец платоновского учения, соединённого с пифагореизмом. Никомах математизирует платоновскую философию, соединяя учение Платона о «высшей идее блага», изложенное в «Государстве», со своего рода «высшей арифметикой», имеющей дело с божественными числами, парадигматически задающими космический порядок всего сущего.

Введение в арифметику

«Введение в арифметику» представляет собой пифагорейскую числовую энциклопедию. В предисловии (I 1-6) рассматривается деление математических предметов на непрерывные величины и дискретные множества, в связи с ко-торым обсуждается четвёрка пифагорейских математических наук — арифметика, геометрия, гармоника, сферика — и значение этих наук для изучения философии. При этом арифметика называется самой старшей наукой, ибо она «предшествует остальным наукам в уме бога-творца как некий космический и образцовый замысел, опираясь на который, как на установление и изначальный образец, создатель вселенной упорядочивает свои материальные творения и приводит их к подобающим целям; а также потому, что по своей природе она является перворождённой, ибо с её уничтожением уничтожаются прочие науки, но сама она не уничтожается вместе с ними» (I 4, 2).

Рассматриваемое в арифметике «научное» число объявляется Никомахом божественной парадигмой космической гармонии: «Это число лишь мыслится, и оно во всех отношениях нематериально, но всё же оно является действительным и вечно сущим, так что в соответствии с ним, сообразуясь с планом творения, были созданы время, движение, небо, звёзды и всевозможные обращения» (I 6, 1).

Далее Никомах переходит к рассмотрению арифметики абсолютных количеств (I 7-16), к ведению которой относятся чётные и нечётные, простые и составные, избыточные, недостаточные и совершенные числа. Здесь описываются решето Эратосфена для получения простых чисел, а также алгоритм последовательного взаимного вычитания для отыскания наибольшей общей меры двух чисел и приём построения чётных совершенных чисел. В арифметике относительных количеств (I 17 — II 5) вводится классификация числовых отношений и описывается алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства. Затем Никомах переходит к рассмотрению фигурных чисел: многоугольных, пирамидальных, плоских и телесных (II 6-20). Завершается «Введение» (II 21-29) обсуждением числовых пропорций.

Изложение арифметических фактов во «Введении» лишено доказательств, вместо них приводятся примеры с конкретными числами, что иногда приводит к неверным утверждениям. Так в II 28 вводится среднее, противоположное гармоническому, в котором «больший из трёх членов так относится к меньшему, как разность между меньшими членами относится к разности между большими». Это понятие Никомах иллюстрирует примером чисел 6 5 3, а затем пишет: «Знай же, что особенность данного среднего состотит в том, что произведение большего и среднего членов здесь вдвое больше произведения среднего и меньшего членов, ведь 6×5 вдвое больше, чем 5×3». Однако из a:c = (b − c):(a − b) не следует ab = 2bc.

Число интересует Никомаха как философа-теоретика в качестве упорядоченной основы всего сущего. При этом единое оказывается «началом», «корнем», «семенем» и «матерью» числового множества, разворачиваемого из него по некоторому правилу. Прежде всего, таким образом разворачивается само число-счёт как «поток составленного из единиц количества». Но так же устроены и отдельные виды чисел.

Другая важная роль арифметики в системе античного платонизма — пропедевтическая. Изучение математических наук традиционно (с опорой на «Государство» и «Послезаконие» Платона) рассматривалось как основной этап философского восхождения от чувственно воспринимаемых вещей, находящихся в непрестанном изменении, к вещам нематериальным, вечным и неизменным, постижимым только в разумном рассуждении. Как говорит Никомах, «эти науки суть лестницы и мосты, которые переносят наши умы от воспринимаемого чувством и мнением к постижимому мыслью и знанием; и от знакомых и привычных нам с детства материальных и телесных вещей — к непривычным и чуждым нашим чувствам, однако их нематериальность и вечность родственны нашим душам и, что ещё важнее, заключённому в них разуму» (I 6, 6).

Изучение арифметики для Никомаха имеет ярко выраженный этический характер. Описывая алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и обратного сведения всех неравенств к равенству, Никомах заключает это описание следующим выводом: «Разумная часть души приводит в порядок неразумную часть, её порывы и влечения, связанные с двумя видами неравенства, и посредством размышления подводит её к равенству и тождеству. А для нас из этого уравнивания прямо вытекают так называемые этические добродетели, каковые суть благоразумие, мужество, мягкость, самообладание, выдержка и подобные им качества» (I 23, 4-5).

В античности «Введение в арифметику» Никомаха не раз комментировали (сохранились комментарии Ямвлиха, Асклепия из Тралл, Иоанна Филопона, известно также о комментариях Сотерика и Герона). Вскоре после смерти Никомаха «Введение» было переведено на латынь Апулеем (перевод не сохранился). Боэций перевёл «Введение» на латынь ещё раз и издал его в своей редакции. Этот перевод послужил основным источником математических сведений для Кассиодора, Марциана Капеллы, Исидора Севильского и др., и на нём основывался арифметический раздел квадривиума средневековых университетов. Имеется также перевод «Введения» на арабский язык, выполненный Сабитом ибн Коррой (2-я пол. IX в.).

Теологумены арифметики

В «Теологуменах арифметики» обсуждалось символическое значение чисел первой десятки. Книга I была посвящена первой четвёрке чисел, книга II — остальным числам до десяти. Каждое число рассматривалось как в отношении к его индивидуальным математическим свойствам, так и в отношении к уподобляемым ему физическим, этическим и теологическим предметам. Согласно Никомаху, «Бог соответствует единице, ибо он семенным образом начинает всё сущее в природе, как единица — в числе»; он потенциально объединяет вещи, актуально представляющиеся противоположными, вбирает в себя «начало, середину и конец целого», подобно тому, как единица есть «начало, середина и конец количества и размера». Без единицы невозможно ни существование, ни познание: она «стоит во главе всех вещей наподобие чистого света, солнцеобразного и предводительного, так что во всём этом она подобна богу» (3.1-14 de Falco). Единица, как её здесь описывает Никомах, тождественна идее блага в VI книге «Государства» Платона.

Далее, двоица есть начало и корень инаковости, и она противостоит единице, как материя — форме и богу. Троица представляет собой основу соразмерности, ведь соразмерность — это среднее между избытком и недостатком. Четверица есть «всё, что есть в мире вообще и по частям». И так вплоть до десятки, символизирующей «природное равновесие, соразмерность и совершенную цельность».

Благодаря сохранившемуся в «Библиотеке» Фотия изложению «Теологумен арифметики» известно, что в своём сочинении Никомах также предпринял попытку сопоставить числа первой десятки с пантеоном греческих богов и богинь, исходя из понимания «своеобразного и определённого количества» каждого числа. В результате каждому из чисел оказались сопоставлены целые списки не менее чем из полутора десятков имен божеств, мифологических персонажей и понятий.

Руководство по гармонике

«Руководство по гармонике» содержит сжатое изложение пифагорейской музыкальной теории. Никомах говорит, что пишет его на скорую руку, и обещает впоследствии написать «большое сочинение», выстроенное «со всей полнотой необходимых для читателя умозаключений», с привлечением «наиболее прославленных и заслуживающих доверия свидетельств древних мужей», — но это сочинение до нас не дошло. Никомах намеревается излагать свой предмет «в точном соответствии с замыслом самого учителя, не как понаслышке записали Эратосфен и Трасилл, но как передал Тимей из Локр, которому и следовал Платон» (гл. 11, 6). О том, что Никомах имел доступ к древним пифагорейским книгам или по крайней мере к извлечениям из них, свидетельствует приведенная им цитата из сочинения Филолая «О природе» (гл. 9), отличающаяся архаичной терминологией. Никомах передаёт учение о «первой воспринимаемой музыке планет» (гл. 4), рассказывает легенду о том, как Пифагор на опыте обнаружил связь созвучных интервалов с отношениями чисел первой четвёрки (гл. 6).

Литература

• Никомах Геразский. Введение в арифметику. Пер., вступит. статья и комм. А. И. Щетникова. Новосибирск: АНТ, 2006.
• Теологумены арифметики. Пер. В. В. Бибихина и А. И. Щетникова. Вступит. статья и комм. А. И. Щетникова. Новосибирск: АНТ, 2007.
• Никомаха из Герасы, пифагорейца, руководство по гармонике, продиктованное на скорую руку сообразно старине. Сибирский музыкальный альманах 2004. Пер. и комм. Т. Г. Мякина и Л. В. Александровой. Новосибирск, НГК им. М. И. Глинки, 2007, с. 119-150.
• Никомах Геразский. Наставление по гармонике. Пер. и комм. А. И. Щетникова. ΣΧΟΛΗ, 2, 2008, с. 75-89.
• Bower C. M. Boethius and Nicomachus: an essay concerning the sources of the «De institutione musica». Vivarium, 16, 1978, 1-45.
• Dillon J. The Middle Platonists. 2nd ed. L.: Duckworth, 1996.
• Heath T. A History of Greek Mathematics. Clarendon Press, Oxford, 1921. ISBN 0-486-24073-8. Vol. 1. P. 98 и сл.
• Levin F. R. The Harmonics of Nicomachus and the Pythagorean tradition. University Park: American Philological Association, 1975.
• O’Meara D. J. Pythagoras Revived: Mathematics and Philosophy in Late Antiquity. Oxf., 1989.
• Mansfield J. Prolegomena Mathematica: From Apollonius of Perga to Late Neoplatonism. Leiden-Boston: Brill, 1998.
• Robbins F. E. The Tradition of Greek Arithmology. Classical Philology, 16, 1921, 97-123.