Несчетное множество

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция $X\to{\mathbb N}$, где ${\mathbb N}$ обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом $\alef_0$ (произносится: "алеф-нуль").

Свойства

1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно;
2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно;
3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно;
4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно;
5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры

Множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел счётны, однако множество вещественных чисел континуально и, следовательно, несчётно.

См. также

• Мощность множества