Неравенство о средних

Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел $x_1, \ldots, x_n$ определяется как

$~A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [d]{\sum_{i=1}^n x^d_i \over n}$

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:

$A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^n x_i}$

$A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}$

$A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}$

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Другие названия

Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи

Средние степеней 1, 0, −1 и 2 имеют собственные имена:

• $A_1(x_1, \ldots, x_n) = m =\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)

• $A_0(x_1, \ldots, x_n) = g =\sqrt [n]{x_1 x_2\cdots x_n}$ называется средним геометрическим;

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

• $A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) = h = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$ называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

• $A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = s =\sqrt{\frac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}$ называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).

Соответственно (для наборов из положительных чисел) $\lim_{d \to +\infty } A_d (x_1, \ldots , a_n) = \operatorname{max} (a_1,\ldots , a_n)$ и $\lim_{d \to -\infty } A_d (x_1, \ldots , a_n) = \operatorname{min} (a_1,\ldots , a_n)$

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для d₁ > d₂

$A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n)$,

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов $x_1 = \ldots = x_n$.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная $A_d(x_1, \ldots, x_n)$ по d неотрицательна и обращается в ноль только при $x_1 = \ldots = x_n$ (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

$\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},$

где каждое из равенств достигается только при $x_1 = \ldots = x_n$.

См. также

• Среднее квадратическое
• Среднее взвешенное
• Среднее Колмогорова
• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Неравенство Швейцера