Модуль числа

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат.

Более точно:

• Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:
  • если $x \geqslant 0$, то | x | = x;
  • если x < 0, то | x | = − x.
• Абсолютная величина комплексного числа z = x + iy (x и y — вещественные числа) — неотрицательное число, обозначаемое |z| и определяемое по формуле:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Модуль относится к числу элементарных функций. В математике широко используется тот факт, что геометрически | x₁ − x₂ | равно расстоянию между точками x₁ и x₂ и, таким образом, может быть использовано как мера близости одной величины к другой.

Свойства

Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:

• $|a| \geqslant 0$, причём | a | = 0 только если a = 0.
• $|ab| = |a||b|;~~~ \left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}$.
• | a^k | = | a | ^k если a^k определено.
• Неравенство треугольника:
  • |a + b| ≤ |a| + |b|   или
  • |a − b| ≥ ||a| − |b||

Альтернативные определения

Для вещественных чисел модуль можно определить и другим способом:

• $|x|={\rm max}\,\{x,\,-x \}$, то есть модуль числа $\!x$ есть максимальное из двух чисел $\!x$ и $\!(-x)$,
• $|x|=\sqrt{x^2}$.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак абсолютной величины введен в XIX веке Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в XIX веке.

См. также

• Модуль вектора
• Нормированное векторное пространство
• Модуль комплексного числа.