Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть p(z) и q(z) — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена p(z) меньше степени многочлена q(z), коэффициент при старшем члене многочлена q(z) равен 1, z_i $i\in\{1,..,k\}$ ― корни многочлена q(z) с кратностями α_i, следовательно,

$q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k}$

Функция p / q представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

$\frac{p(z)}{q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},$

где A_i,j ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно степени q). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно A_i,j.

Примечание. Нахождение неизвестных можно упростить, если q(z) имеет некратные корни z_j. После умножения на z − z_j последнего равенства и подстановки z = z_j непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента $A_j = \frac{p(z_j)}{\prod\limits_{i\neq j}(z_j-z_i)^{\alpha_i}}$.

Обращение ряда

Если функция f(x), не равная нулю при x = 0 разложена в ряд Маклорена:

$f(x)=a_1 x + a_2 x^2 + \ldots,$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

$1/f(x)=b_1 x + b_2 x^2 + \ldots,$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

$g(x)=c_1 x + c_2 x^2 + \ldots,$

При этом используется соотношение g(f(x)) = x, то есть весь ряд для f(x) подставляется вместо x в ряд для g(x).

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: $\sum_{i=0}^n i^k$. Будем искать ответ в виде многочлена k + 1-ой степени от n. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем $\sum_{i=0}^n i^3$ в виде p(n) = an⁴ + bn³ + cn² + dn + e.

По определению p(n) − p(n − 1) = n³, а также p(1) = 1. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

$\begin{cases} 4 a=1\\ -6a+3b=0\\ -a + b - c + d =0\\ 4 a - 3 b + 2 c = 0\\ a+b+c+d+e=1 \end{cases},$

откуда получаем ответ: $\sum_{i=0}^n i^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения Δp(n) = n³, здесь же ищется решение уравнения $a_n f^{(n)}(x)+\ldots + a_2 f''(x)+a_1 f'(x)+a_0 f(x)=g(x)$.

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки

• Интересные примеры: разложение дроби