Магнитный закон Гаусса

Классическая электродинамика

Магнитное поле соленоида

Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Электродинамика Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-ток · 4-потенциал Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме (электростатическая теорема Гаусса)

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

В системе СИ:

$\Phi_\vec{E} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.

В системе СГСЭ:

$\Phi_\vec{E} = 4 \pi Q$,

где

• $\Phi_\vec{E} = \oint\limits_S \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S}$ — поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность S.
• Q — полный заряд, содержащийся в объеме, который ограничивает поверхность S.
• $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

В дифференциальной форме теорема Гаусса соответствует одному из уравнений Максвелла и выражается следующим образом

в системе СИ:

$\operatorname{div}\vec{E}=\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$,

в системе СГСЭ:

$\operatorname{div}\vec{E}=\nabla\cdot\vec{E} = 4\pi\rho$.

Здесь ρ — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а $\nabla$ — оператор набла.

Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности.

Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Теорема Гаусса для электрической индукции(электрическое смещение)

Для поля в веществе электростатическая теорема Гаусса может быть записана иначе — через поток вектора электрического смещения (электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

$\Phi_\vec{D} = \oint\limits_S \vec{D} \mathrm{d} \vec{S} = Q$

Если же рассматривать теорему для напряжённости поля в веществе, то в качестве заряда Q необходимо брать сумму свободного заряда, находящегося внутри поверхности и поляризационного (индуцированного, связанного) заряда диэлектрика:

$\Phi_\vec{E} = \frac{(Q_0 + Q')}{\varepsilon_0}$,

где $Q' = \oint_S \vec{P} \mathrm{d} \vec{S}$,
$\vec{P}$ — вектор поляризации диэлектрика.

Теорема Гаусса для магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

$\Phi_\vec{B} = \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = 0$.

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является вихревым.

Применение теоремы Гаусса

Для вычисления электромагнитных полей используются следующие величины:

• Объёмная плотность заряда (см. выше).
• Поверхностная плотность заряда

$\sigma = { dq \over dS}$,

где dS — бесконечно малый участок поверхности.

• Линейная плотность заряда

$\lambda = {dq \over dl}$,

где dl — длина бесконечно малого отрезка.

Расчёт напряжённости бесконечной плоскости

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна σ. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием ΔS, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии $~ E' = E'' = E$. Поток вектора напряжённости равен $~2E\Delta S$. Применив теорему Гаусса, получим:

$~2E\Delta S = \frac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_0}$,

из которого

$~E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$,

в системе СГСЭ

$~E = 2\pi \sigma$

Расчёт напряжённости бесконечной нити

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной нитью с линейной плотностью заряда, равной λ. Пусть требуется определить напряжённость, создаваемую этим полем на расстоянии R от нити. Возьмём в качестве Гауссовой поверхности цилиндр с осью, совпадающей с нитью, радиусом R и высотой Δl. Тогда поток напряжённости через эту поверхность рассчитывается следующим образом:

$~\Phi_\vec{E} = \frac{\Q}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda\Delta l}{\varepsilon_0}$

В силу симметрии, модуль напряжённости в любой точке поверхности цилиндра будет одинаков. Тогда поток напряжённости через эту поверхность рассчитывается следующим образом:

$~\Phi_\vec{E} = \sum_{i}\Delta S_{i}E_{i} = E\sum_{i}\Delta S_{i} = ES = E2\pi R\Delta l$

Учитывается только площадь боковой поверхности цилиндра, так как поток через основания цилиндра равен нулю. Приравнивая 1 и 2 выражения, получим:

$~\frac{\lambda\Delta l}{\varepsilon_0} = E2\pi R\Delta l$

$~E = \frac{\lambda}{2\pi R\varepsilon_0}$

В системе СГСЭ

$~E = \frac{2 \lambda}{R}$

Важно отметить, что несмотря на свою универсальность и общность, теорема Гаусса в интегральной форме имеет сравнительно ограниченное применение в силу неудобства вычисления интеграла. Однако в случае симметричной задачи решение её становится гораздо более простым, чем с использованием принципа суперпозиции.

Следствия из теоремы Гаусса

• Следствием теоремы Гаусса является теорема Ирншоу.
• Поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность равен нулю, это свойство используется для экранирования высокочувствительных приборов от электрических помех.

См. также

• Формула Остроградского

Литература

• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с, ил. и более поздние издания.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики, т.3, §§ 5 — 8, 13, 53.