Конечная p-группа

Группа называется конечной $p$-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-групп

Пусть $P$ — конечная $p$-группа, тогда

• P — нильпотентна.
• $|Z(P)|>1$, где $Z(P)$ — центр группы P.
• Для любого $1\leq k <n$ в $P$ существует нормальная подгруппа порядка $p^k$.
• Если $H$ нормальна в $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$.
• $P'\leq \Phi(P)$.
• $P/\Phi(P)\cong E_{p^d}$.

Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных $p$-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса

Конечная $p$-группа порядка $p^n$ называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна $n-1$.

Если $P$ — конечная $p$-группа максимального класса, то $P'=\Phi(P)$ и $|Z(P)|=p$.

Единственными 2-группами порядка $2^n$ максимального класса являются: диэдральная группа $D_{2^n}$, обобщённая группа кватернионов $Q_{2^n}$ и полудиэдральная группа $SD_{2^n}$.

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы

Конечная $p$-группа называется $p$-центральной, если $\Omega_1(P)\leq Z(P)$. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной $p$-группы.

Мощные p-группы

Конечная $p$-группа называется мощной, если $[P,P]\leq P^p$ при $p\neq 2$ и $[P,P]\leq P^4$ при $p=2$. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию $p$-центральной $p$-группы.

Регулярные p-группы

Конечная $p$-группа $P$ называется регулярной, если для любых $x,y\in P$ выполнено $(xy)^p=x^p y^p c^p$, где $c\in P'$. Регулярными будут, например, все абелевы $p$-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

• Любая подгруппа и факторгруппа регулярной $p$-группы регулярна.
• Конечная $p$-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
• Конечная $p$-группа порядка не большего $p^p$ является регулярной.
• Конечная $p$-группа класс нильпотентности которой меньше $p$ является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при $p>2$.
• Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных $p$-групп порядка $p^n$

• Число неизоморфных групп порядка $p$ равно 1: группа $C_{p}$.
• Число неизоморфных групп порядка $p^2$ равно 2: группы $C_{p^2}$ и $C_{p}\times C_{p}$.
• Число неизоморфных групп порядка $p^3$ равно 5, из них три абелевы группы: $C_{p^3}$, $C_{p^2}\times C_{p}$, $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ и две неабелевы: при $p>2$ — $E_{p^3}^+$ и $E_{p^3}^-$; при p = 2 — $D_4$, $Q_8$.
• Число неизоморфных групп порядка $p^4$ равно 15 при $p>2$, число групп порядка $2^4$ равно 14.
• Число неизоморфных групп порядка $p^5$ равно $2p + 61 + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4)$ при $p\geq 5$. Число групп порядка $2^5$ равно 51, число групп порядка $3^5$ равно 67.
• Число неизоморфных групп порядка $p^6$ равно $3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5)$ при $p\geq 5$. Число групп порядка $2^6$ равно 267, число групп порядка $3^6$ равно 504.
• Число неизоморфных групп порядка $p^7$ равно $3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$. Число групп порядка $2^7$ равно 2328, число групп порядка $3^7$ равно 9310, число групп порядка $5^7$ равно 34297.

p-группы порядка $p^n$, асимптотика

При $n\rightarrow\infty$ число неизоморфных групп порядка $p^n$ асимптотически равно $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$.

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп $p$-автоморфизмов конечной $p$-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

• Пусть $P$ является нециклической $p$-группой порядка $|P|\geq p^3$, тогда $|P|\leq |Syl_p(Aut(P))|$.

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса $p$-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более $p^7$, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка $q$ нильпотентна.

• Пусть группа $P$ обладает регулярным автоморфизмом простого порядка $q$. Тогда её класс нильпотентности равен $cl(P)=\frac{q^2-1}{4}$.

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: $cl(P) < q^q$ (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с $m$ образующими и периодом $n$ (то есть все её элементы $x$ удовлетворяют соотношению $x^n=1$), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через $B(m,n)$. Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа $B(m,2)$ является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы $B(m,3)$ равен $3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}$. Однако, как показали Новиков и Адян, при $m\geq 2$ и при любом нечётном $n\geq 4381$ группа $B(m,n)$ бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных $m$-порождённых групп периода $n$ ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных $p$ групп она означает, что существует лишь конечное число $p$ групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка $p^{p+1}$.

Литература

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки

• Система GAP.