Отношение (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение.

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

Отношение может также означать результат операции деления, например:

• двойное отношение,
• отношение направленных отрезков.

Формальное определение

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах $M_1,M_2,\ldots,M_n$, называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая $M=M_1=M_2=\ldots=M_n$ для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

$\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle\in R$.

Арность

• Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.
• Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
• Трёхместные отношения называют тернарными.

Примеры

• Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначаемое символом «=». Ему принадлежат все пары вида $\langle x, x\rangle$, и только они.

• Отношение эквивалентности на произвольном множестве M — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом «~». Состоит из пар вида $\langle x, y\rangle$, где x и y принадлежат одному классу эквивалентности, и только из них.

• Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ». Состоит из пар вида $\langle x, y\rangle$, где x делит y нацело.

Отношения и предикаты

Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение $f: M^n \rightarrow \{0,1\}$, то отношением $R$ называется прообраз единицы в $f$. Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.

Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов.^[1]

Операции с отношениями

Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).

Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.

См. также

• Отношение порядка

Примечания

1. ↑ Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982.

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.