- Локон Аньези
-
Верзье́ра (верзие́ра) Аньези (иногда ло́кон Аньези) — плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение , где OA — диаметр окружности, BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA.
Содержание
Уравнения
O = (0,0), A = (0,a)
- В прямоугольной системе координат:
ВыводКоординаты точки M, лежащей на верзьере — это x = BM, y = OB. OA = a и по определению строим пропорцию
Отсюда
С другой стороны BC может быть найден из уравнения окружности:
Нам известен y = OB, значит выражаем x2:
Приравниваем оба выражения для BC:
Возводим в квадрат, переносим и выносим y2 за скобки:
Выражаем y (y=0 не подходит по определению):
- Параметрическое уравнение:
- , где — угол между OA и OC
ВыводКоординаты точки M однозначно определяются углом между OB и OC. Если OB = y, а BM = x, то по определению верзьеры можно составить пропорцию
OA по предположению равен a. Из треугольника OBC: , значит
отсюда . Эту формулу подставляем в уравнение кривой:
Используя тождество, получаем
- В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:
Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.
Свойства
- Верзьера — кривая третьего порядка.
- Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.
- Кривая имеет один максимум — A(0;a) и две точки перегиба —
- В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A: .
- Площадь под графиком S = πa2. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему .
- Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX) .
Построение
Строится окружность диаметра a и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.
См. также
Литература
- Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.:АСТ:Астрель, 2006.
Wikimedia Foundation. 2010.