Логарифмическая производная

Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́днаяпроизводная от натурального логарифма функции.

(\ln f)' = \frac{f'}{f}

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

Содержание

Применение

Производная сложно-показательной функции

Пусть ~f(x)=u(x)^{g(x)} (для краткости ~f=u^{g}, где u и g - функции).

Тогда ~\ln f = \ln u^g =g\ln u, а ~(\ln f)' = (g\ln u)'=g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u}. С другой стороны, (\ln f)' = \frac{f'}{f}, т.е. f' = f\cdot(\ln f)'.

Окончательно имеем (u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})

Производная произведения функций

Пусть задана функция ~f(x) = \prod^{n}_{i=1} g_i(x) (для краткости ~f = \prod^{n}_{i=1} g_i).

Так как ~f' = f\cdot(\ln f)'= \prod^{n}_{i=1} g_i (\ln \prod^{n}_{j=1} g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i (\sum^{n}_{j=1} \ln g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} (\ln g_j)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}.

Окончательно получаем: ~f' = (\prod^{n}_{i=1} g_i)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}=f\cdot\sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}.


Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если ~f = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n, то ~f' = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \left ( \frac{g_1'}{g_1}+\frac{g_2'}{g_2}+\ldots+\frac{g_n'}{g_n} \right )
Раскрыв скобки, получим: ~f' = g_1'\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n + g_1\cdot g_2'\cdot \ldots\cdot g_n + \ldots + g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n'


В частности, если ~f=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}, то ~f'=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}\cdot \left( \alpha_1\cdot\frac{u_1'}{u_1}+\alpha_2\cdot\frac{u_2'}{u_2}+\ldots+\alpha_m\cdot\frac{u_m'}{u_m} - \beta_1\cdot\frac{v_1'}{v_1}-\beta_2\cdot\frac{v_2'}{v_2}-\ldots-\beta_n\cdot\frac{v_n'}{v_n} \right)

Пример

Найдем производную, \frac{df}{dx} от функции f(x) = x^x:

\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — производная ох логарифма данной функции …   Математическая энциклопедия

  • Логарифмическая спираль — или изогональная спираль  особый вид спирали, часто встречающийся в природе. a=0.01, b=0.15 …   Википедия

  • ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно Так как при любом действительном у, то Л. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • Финансовая математика — Финансовая математика  раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим… …   Википедия

  • Список операторов (математика) — Данный список содержит математические преобразования, кроме интегральных преобразований. Выражение Задание кривой Переменные Описание Линейные преобразования Производная n го порядка Декартовы координаты y = y(t) x …   Википедия

  • Список операторов — Данный список содержит математические преобразования, кроме интегральных преобразований. Выражение Задание кривой Переменные Описание Линейные преобразования Производная n го порядка Декартовы координаты Интеграл, площадь …   Википедия

  • Прогноз — (Forecast) Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования, методы прогнозирования Содержание Содержание Определение Основные понятия прогностики Задачи и принципы прогнозирования… …   Энциклопедия инвестора

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (функции Бесселя) решения Zv(z )ур ния Бесселя где параметр (индекс) v произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур ние, зависящее от четырёх параметров: решения к рого выражаются через Ц …   Физическая энциклопедия

  • Дигамма (буква) — Греческий алфавит Α α  альфа Β β  бета …   Википедия

  • Ϝ — Греческий алфавит Α α альфа Β β бета …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Логарифмическая производная» >>

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»