Линейные операторы

Лине́йным отображе́нием (лине́йным опера́тором) векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (над тем же полем K) называется отображение

$f\colon L_K\to M_K$,

удовлетворяющее условию линейности

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

для всех $x,y\in L_K$ и $\alpha,\beta\in K$.

Важные частные случаи

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого M = K:
      $f\colon L_K\to K$
• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M:
      $f\colon L_K\to L_K$
• Тождественный оператор — оператор $x \mapsto x$, отображающий каждый элемент пространства в себя.
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент L_K в нулевой элемент M_K.
• Сопряжённый оператор к оператору $A \in L(V)$ — оператор A ^* на V ^* , заданный соотношением (A ^* f,x): = (f,Ax).
• Эрмитов (самосопряжённый) оператор — оператор, совпадающий со своим сопряженным оператором. В случае евклидова пространства такой оператор называют еще симметричным.

Связанные понятия

• Ядром линейного отображения $f\colon A\to B$ называются подмножество A, которое отображается в нуль:

  $\mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве A.

• Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:

  $\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.

• Отображение $f\colon A\times B \to C$ прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

• Оператор $\tilde L$ называется линейным неоднородным, если он имеет вид

  $\tilde L = L + v$

где L — линейный оператор, а v — вектор.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: $L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$;
• оператор интегрирования: $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau$;
• оператор умножения на определённую функцию $\varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t)$;
• оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau$
• оператор взятия значения функции f в конкретной точке x₀: L{f} = f(x₀);
• оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• $y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\varphi(t)$;
• $y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau+\varphi(t)$;
• $y(t)=\varphi_1(t)x(t)+\varphi_2(t)$;

где $\varphi(t)$, $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

См. также

• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Разностный оператор
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал
• Изометрический оператор