Лента мебиуса

Лента Мёбиуса

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R³. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности $\infty$, так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ $\infty$ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).

Свойства

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Геометрия и топология

Параметрическое описание листа Мёбиуса.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные $\scriptstyle{A}$ так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества $\R^3$ является параметризация:

$x (u, v) = \left (1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \cos (u),$

$y (u, v) = \left (1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \sin (u),$

$z (u, v) = \frac {v} {2} \sin\frac {u} {2},$

где $0\leqslant u <2\pi$ и $-1\leqslant v\leqslant 1$. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в $(0,\;0,\;0)$. Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах $(r,\;\theta,\;z)$, неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

$\log (r) \sin\left (\frac {\theta} {2} \right) =z\cos\left (\frac {\theta} {2} \right).$

Топологически лист Мёбиус может быть определен как факторпространство квадрата $[0,\;1]\times[0,\;1]$ по отношению эквивалентности $(x,\;0)\sim(1-x,\;1)$ для $0\leqslant x\leqslant 1$.

Лист Мёбиуса — неориентируемая поверхность с краем.

Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Подобные объекты

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Другое похожее множество — сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в $\R^3$).

Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в $\R^3$ с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем — пусть C будет единичным кругом в плоскости xy в $\R^3$. Соединив антиподные точки на C, то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости xy, а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости xy).

Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.

Открытые проблемы

1. Каково минимальное k такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мебиуса (бумагу мять не разрешается), (доказанная оценка снизу $\frac{\pi}{2}$, сверху $\sqrt 3$) см. http://arbuz.uz/t_lenta.html
2. Существует ли формула, описывающая лист Мебиуса, получающийся путем складывания плоского листа бумаги? (вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?)

ОТВЕТ: Таких формул существует бесконечно много, см., напр., ^[1].

Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, была недавно решена, см. ^[2]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

См. также

• Бутылка Клейна

Примечания

1. ↑ Randrup T., Rogen P. (1996). "Sides of the Möbius strip". Archiv der Mathematik 66: 511—521.
2. ↑ Starostin E. L., van der Heijden G. H. M. (2007). "The shape of a Möbius strip". Nature Materials. DOI:10.1038/nmat1929.