Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство $\R^3$. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

Свойства

• Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «Афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотаные друг на друга.

• Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
• Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Уравнения

Параметрическое описание листа Мёбиуса.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные $\scriptstyle{A}$ так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества $\R^3$ является параметризация:

$x (u, v) = \left (1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \cos u,$

$y (u, v) = \left (1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \sin u,$

$z (u, v) = \frac {v} {2} \sin\frac {u} {2},$

где $0\leqslant u <2\pi$ и $-1\leqslant v\leqslant 1$. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости $x-y$ с центром в $(0,\;0,\;0)$. Параметр $u$ пробегает вдоль ленты, в то время как $v$ задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах $(r,\;\theta,\;z)$, неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

$~\log r \sin (\theta/2) = z \cos (\theta/2),$

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Свойства

• Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата $[0,\;1]\times[0,\;1]$ по отношению эквивалентности $(x,\;0)\sim(1-x,\;1)$ для $0\leqslant x\leqslant 1$.

• Лист Мёбиуса — неориентируемая поверхность с краем.

• Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

• Ленту Мёбиуса возможно поместить в $\R^3$ с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем: пусть $C$ будет единичным кругом в плоскости $xy$ в $\R^3$. Соединив антиподные точки на $C$, то есть, точки под углами $\theta$ и $\theta + \pi$ дугой круга, получим, что для $\theta$ между $0$ и $\pi/2$ дуги лежат выше плоскости $xy$, а для других $\theta$ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости $xy$).
  • Тем не менее, любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту мёбиуса.

Открытые вопросы

1. Каково минимальное $k$ такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной $k$ можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается), (доказанная оценка снизу $\frac{\pi}{2}$, сверху $\sqrt 3$)^[1]
2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путем складывания плоского листа бумаги? (вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?)^[2].
   • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, была недавно решена^[3]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой извеcтной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Философский трактат Кирилла Мозгалевского «Путешествие в Пандемониум или Наваждение 13-го» написан в виде ленты Мёбиуса — произведение начинается и заканчивается одинаковым отрывком, а примерно в середине повествования этот же отрывок перекручивается. Именно по ленте Мёбиуса главный герой попадает в потусторонний мир.

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo»^[4]. Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью. В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Лента Мёбиуса и знак бесконечности

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ $\infty$ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса^[5] (см. символ бесконечности).

Существует также версия, что в качестве знака бесконечности используется символическое изображение ленты Мёбиуса, поскольку она отражает диалектическую модель Вселенной, заключающуюся в единстве и двойственности бытия.

Вариации и обобщения

• Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

• Другое похожее множество — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

Поверхность Кипенского

Односторонняя поверхность А. В. Кипенского

Поверхность Кипенского получается из трёх цилиндрических полосок бумаги, склеенных последовательно друг с другом. То, что поверхность односторонняя, видно из среднего рисунка, обход по синей линии возвращает к этой точке с другой стороны бумаги, хотя линия не переходит через край. Интересно, что если поверхность разрезать по красным линиям, она разбивается на две зеркально-симметричные части. Одна из них показана на нижнем рисунке. Такой вариант поверхности был придуман А. В. Кипенским.

См. также

• Мёбиус, Август Фердинанд
• Бутылка Клейна
• Резистор Мёбиуса

Примечания

1. ↑ Фукс Д. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // «Квант», № 1, 1979.
2. ↑ Randrup T., Rogen P. (1996). «Sides of the Möbius strip». Archiv der Mathematik 66: 511—521.
3. ↑ Starostin E. L., van der Heijden G. H. M. (2007). «The shape of a Möbius strip». Nature Materials. DOI:10.1038/nmat1929.
4. ↑ (СПб.: Амфора, 2003)
5. ↑ Лента Мебиуса//Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009

Ссылка

	Лента Мёбиуса на Викискладе?

• Видеоролик о свойствах листа Мёбиуса