ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

раздел математики, в к-ром изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств ф-ций. Производной ф-ции у = f(x) наз. предел отношения приращения дельта y = у₁ - y_0> ф-ции к приращению дельта х = х₁ - х_0> аргумента при дельта х, стремящемся к нулю (если этот предел существует) . Производная обозначается f'(x) или у'; т.о., у'= lim дельта у/ дельта х при дельта х->0.
Дифференциалом ф-ции y = f(x) наз. выражение dy = y'dx, где dx = дельта x - приращение аргумента х. Очевидно, что у' = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f'(x) имеет, в свою очередь, производную, то её наз. 2-й производной ф-ции f(x) и обозначают f"(x), и т. д. Осн. понятия Д. и. могут быть распространены на случай ф-ций нескольких переменных. Если z = f(x, у) - ф-ция двух переменных х и у, то, зафиксировав для у к.-л. значение, можно дифференцировать z по х; полученная производная dz/дх = f'_x наз. частной производной z по х. Аналогично определяются частная производная dz/dy = fy, частные производные высш. порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений Д. и. к геометрии важно, что т. н. угловой коэф. касательной, т. е. тангенс угла а (см. рис.) между осью Ох и касательной к кривой y = f(x) в точке M(х₀, у_0>), равен значению производной при х = х_о>, т. е. f'(x_o>). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Д. и. (как и интегральное исчисление) имеет многочисл. применения.

.