логика отношений

раздел логики, изучающий свойства высказываний об отношениях между объектами различной природы. Элементарными высказываниями об отношениях являются высказывания вида akb, т. е. объект а находится в отношении k к объекту b, напр.: "а брат b", "а тяжелее b" и т. п. В зависимости от числа объектов, связанных тем или иным отношением, различают

двухместные, или бинарные, отношения, трехместные, или тернарные, отношения, напр.: "a находится между b и с"; и вообще n-местные, или n-арные, отношения. Особое значение имеют бинарные отношения, посредством которых определяют такие важнейшие понятия логики и математики, как "функция" и "операция". Вводя для бинарных отношений теоретико-множественные операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения, получают "алгебру отношений", роль единицы в которой играют отношения эквивалентности (равенства, тождества). Отношения эквивалентности обладают следующими свойствами:

а) рефлексивностью: для всякого х верно, что xkx, т. е. каждый объект находится в данном отношении к самому себе;

б) симметричностью: из xky следует ykx;

в) транзитивностью: из xky и ykz следует xkz.

Опираясь на различные свойства отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. Напр., отношение "быть братом" симметрично, поэтому из высказывания "а брат b" можно сделать вывод о том, что "b брат а". В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необходимым для вывода свойством. Напр., можно ли из высказывания "а теплее b" сделать вывод о том, что "b теплее а"? Нет, нельзя, т. к. отношение "быть теплее" не является симметричным. Но оно является транзитивным, потому из высказываний "а теплее b" и "b теплее с" можно вывести высказывание "а теплее с".

Значительный вклад в разработку Л.о. внес рус. логик С. И. Поварнин (1870-1952). В современной математической логике отношения выражаются посредством многоместных предикатов, напр.: "Брат (а, b)", "Больше (а, b)" и т. п. Поэтому Л. о. в настоящее время разрабатывается как часть логики предикатов.