обратная решётка

обра́тная решётка

точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие «Обратной решётки» удобно для описания дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристалле.

* * *

ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА

ОБРА́ТНАЯ РЕШЕТКА, точечная трехмерная решетка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины.
Введение понятия обратной решетки и обратного пространства, сопряженных с прямой решеткой и прямым пространством, полезно при решении дифракционных задач физики твердого тела, оптики, структурного анализа, электронной микроскопии (см. ЭЛЕКТРОННАЯ МИКРОСКОПИЯ).
Обратная решетка, соответствующая любой прямой решетке, описывающей реальную структуру кристалла, строится следующим образом:
1.Если обычная прямая решетка построена на векторах трансляций a,b,c, то оси обратной к ней решетки a*,b*,c* определяются как векторные произведения:
a* = bc, b* = ca, c* = ab
2.Осевые параметры обратной решетки a*,b*,c* равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси.
Т. е. вектор обратной решетки H*_hkl нормален к каждой плоскости прямой решетки (hkl), а его длина определяется как величина, обратная межплоскостному расстоянию dhkl.
Решетка с вектором H*hkl, построенная на базисных векторах a*,b*,c* называется обратной решеткой, векторы a*,b*,c* — координатными векторами обратной решетки.
Каждой плоскости (hkl) прямой решетки отвечает в обратной решетке узел [[hkl]]*. Бесконечному семейству параллельных плоскостей hkl в пространстве прямой решетки соответствует в пространстве обратной решетки бесконечное семейство точек [[hkl]]* вдоль направления, нормального к этим плоскостям. Расстояния от этих точек от точки, принятой за начало координат в обратном пространстве, равны 1/d, 2/d, 3/d,…, где d=dhkl – расстояние между плоскостями hkl в прямой решетке. Обратная решетка определена в трехмерном обратном пространстве с размерностью «обратных длин».
Зоне плоскостей прямой решетки отвечает сетка из точек (узлов) обратной решетки, причем ось зоны прямой решетки нормальна к плоскости сетки обратной решетки. Прямой пространственной решетке из плоскостей hkl отвечает обратная трехмерная решетка из точек [[hkl]]*.
Основные векторы a*,b*,c* обратной решетки определяются также скалярными произведениями:
aa* = bb* = cc* = 1;
a*b = a*c = b*c = b*a = c*b = c*a = 0
Прямая и обратная решетка сопряжены взаимно, т. е. решетка, построенная на осях a,b,c, является обратной по отношению к решетке a*,b*,c*, а решетка, построенная на векторах a*,b*,c*, — обратной по отношению к решетке a*,b*,c*.
Физический смысл обратной решетки
Обратная решетка является важным математическим образом, находящим многочисленные применения в геометрической кристаллографии, в теории дифракции и структурном анализе кристаллов, в физике твердого тела.
Например, понятие обратной решетки используется для описания периодического распределения отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Отражение рентгеновских лучей от плоскостей структуры кристалла описывается формулой Вульфа-Брэгга (Брэгга-Вульфа условие (см. БРЭГГА-ВУЛЬФА УСЛОВИЕ)), из которого следует, что при постоянной длине волны рентгеновского излучения l большому межплоскостному расстоянию для семейства параллельных отражающих плоскостей d отвечает малый угол падения q, т. е., чем больше межплоскостное расстояние, тем ближе направления отраженных лучей к направлению падающего пучка. Отражения рентгеновских лучей от бесконечно протяженных идеальных кристаллов должны быть точечными.
Каждый узел обратной решетки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решетки кристалла. Направление вектора обратной решетки H*_hkl совпадает с направлением отражения от плоскостей hkl в прямой решетке, а n-ый узел обратной решетки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей.