Устойчивость гидродинамическая

Устойчивость гидродинамическая

способность поля течения восстанавливать своё состояние после воздействия возмущений. Для длительного существования какого-либо течения необходимо, чтобы случайно возникающие в нём возмущения затухали. Если же возмущения, даже вначале малые, нарастают, то рассматриваемое течение неустойчиво и неизбежно разрушится, породив другое течение. Изучение законов развития возмущений и определение условий, при которых они затухают, составляют содержание теории У. г. — большого раздела аэро- и гидродинамики. Эта теория охватывает широкий круг научных проблем с многими важными техническими приложениями. К ним относятся задачи об устойчивости вихревых течений и струйных течений, зональных ветров в атмосфере, течений электропроводящих жидкостей и плазмы, конвекционных и др. течений. С неустойчивостью ламинарных течений тесно связан переход ламинарного течения в турбулентное.
В общей постановке задача об У. г. какого-либо течения требует исследования решения нелинейной системы уравнений с частными производными, что сделать чрезвычайно трудно. Поэтому обычно применяется метод возмущений теории, позволяющий линеаризовать уравнения (см. Линеаризованная теория течений). Наиболее полно этот метод исследования У. г. разработан для стационарных двумерных плоскопараллельных течений, например вязкой жидкости течения в канале постоянной ширины; таким же течением приближённо считается и ламинарный пограничный слой, толщина которого изменяется сравнительно медленно, а нормальная к стенке составляющая скорости мала.
Для плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости на основе неразрывности уравнения вводится функция тока (ψ), удовлетворяющая уравнению

Здесь

где (ψ) — частное решение приведённого уравнения, соответствующее функции тока основного течения в направлении оси Ох, а (ψ)* — малое возмущение. Подстановка этого выражения в уравнение приводит после отбрасывания членов второго порядка малости к линеаризированному уравнению для (ψ)*, коэффициенты которого зависят только от у. Следовательно, оно допускает решение вида

амплитуда f которого удовлетворяет обыкновенному линейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка:
у) — скорость основного течения, (α) — волновое число, а штрих означает дифференцирование по у. Это однородное уравнение, играющее важную роль в линейной теории У. г., называется уравнением Орра — Зоммерфельда, впервые получившими его в 1907—08. Краевые условия для возмущений требуют обращения в нуль обеих составляющих скорости на стенках, в случае неограниченного потока — на бесконечности. Таким образом, возникает задача о собственных значениях с вековым уравнением вида F((α), Re, с) = 0. Для каждой пары действительных величин (α) и Re существует, вообще говоря, комплексное собственное значение c = cr+ici, при котором уравнение для f с однородными краевыми условиями имеет нетривиальное решение. Его мнимая часть определяет нарастание (ci>0) или затухание (ci">
где V(у) — скорость основного течения, (α) — волновое число, а штрих означает дифференцирование по у. Это однородное уравнение, играющее важную роль в линейной теории У. г., называется уравнением Орра — Зоммерфельда, впервые получившими его в 1907—08. Краевые условия для возмущений требуют обращения в нуль обеих составляющих скорости на стенках, в случае неограниченного потока — на бесконечности. Таким образом, возникает задача о собственных значениях с вековым уравнением вида F((α), Re, с) = 0. Для каждой пары действительных величин (α) и Re существует, вообще говоря, комплексное собственное значение c = cr+ici, при котором уравнение для f с однородными краевыми условиями имеет нетривиальное решение. Его мнимая часть определяет нарастание (ci>0) или затухание (ci<0) со временем амплитуды f волны возмущения (ψ)*, распространяющейся в направлении основного течения с фазовой скоростью сr. Такие волны в теории У. г. часто называются волнами Толмина — Шлихтинга. Кривая ci = 0, соответствующая нейтральным колебаниям и отделяющая в плоскости ((α), Re) область устойчивости от области неустойчивости, называется нейтральной кривой. На ней всегда имеется точка с наименьшим (критическим) числом Рейнольдса Reкр, которое может служить общим критерием устойчивости рассматриваемого течения. При ReReкр в потоке могут существовать нарастающие возмущения со значениями (α), находящимися в интервале между его значениями на верхней и нижней ветвях нейтральной кривой. Форма нейтральной кривой и Reкр сильно зависят от профиля скорости основного течения. Если у него нет точек перегиба, где V" = 0, то при Re(→ ∞) обе ветви нейтральной кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Если же у профиля скорости есть точки перегиба, то верхняя ветвь имеет асимптотой прямую (α) = (α)s(≠)0; в этом случае заметно уменьшается Reкр и при сколь угодно большом Re существует конечный интервал значений (α), в котором малые возмущения неустойчивы. В двумерном пограничном слое профили скорости с точкой перегиба возникают в области с положительным градиентом давления, где внешний поток замедляется. Такие факторы, как отрицательный градиент давления или отсос пограничного слоя, которые делают профиль скорости более наполненным, повышают Reкр и замедляют нарастание неустойчивых возмущений. При наличии других благоприятных условий, к которым прежде всего следует отнести малую шероховатость стенки, это способствует ламинаризации пограничного слоя.
В развитие теории У. г. внесли вклад многие выдающиеся учёные. Г. Гельмгольц (1868) показал, что в идеальной жидкости поверхность тангенциального разрыва скорости неустойчива. Наблюдая в трубах колебания окрашенных струек воды, О. Рейнольдс (1883) предположил, что разрушение ламинарного течения происходит вследствие его неустойчивости; этим он положил начало рассмотрению У. г. как проблемы возникновения турбулентности. Первые исследования У. г. велись главным образом без учёта влияния вязкости на возмущения, которое считалось стабилизирующим; в них использовалось так называемое невязкое уравнение второго порядка, получающееся из уравнения для f, если пренебречь его правой частью. Здесь фундаментальных результатов добился Дж. У. Рэлей (1880, 1887, 1913); он показал, что для существования нарастающих возмущений необходимо наличие у профиля скорости точки перегиба. Впоследствии В. Толмин (1935) доказал и достаточность этого критерия невязкой неустойчивости, физическую интерпретацию которой на основе механизма перераспределения вихрей дал Линь Цзя-цзяо (1944). Рэлей также показал, что фазовая скорость нейтральных колебаний меньше максимальной скорости основного течения. Поэтому при ci = 0 в потоке имеется критический слой у = ус, в котором V = сr. Для невязкого уравнения точка у = ус является особой, при подходе к ней продольная составляющая возмущения скорости неограниченно возрастает, если в ней V" = 0. Чтобы устранить эту особенность, отсутствующую в полном уравнении, нужно учитывать вязкость в критическом слое; её нужно учитывать и вблизи стенок, чтобы удовлетворить всем краевым условиям. Исследования У. г. с учётом вязкости были предприняты В. Орром и А. Зоммерфельдом, которые попытались определить Reкр течения с линейным профилем скорости, Т. Лоренц (1907) применил для этой цели энергетический метод. Соображения относительно обмена энергией между основным течением и возмущением использовались ещё Рейнольдсом (1895); они в дальнейшем во многом способствовали выяснению физического механизма неустойчивости. Однако сам энергетический метод, в котором рассматриваются возмущения, удовлетворяющие лишь уравнению неразрывности, не даёт приемлемых количественных результатов; обстоятельной критике он был подвергнут Г. И. Петровым (1938). Исследуя устойчивость ламинарного пограничного слоя, Л. Прандтль обнаружил (1921—22), что аппроксимированный ломаной линией выпуклый профиль скорости становится неустойчивым при любом Re, если вблизи стенки учесть вязкость. Объяснение этому Прандтль нашел в том, что силы трения порождают в возмущённом потоке напряжения сдвига, которые могут переносить энергию основного течения к возмущению, вызывая вязкую неустойчивость. В. Гейзенберг получил (1924) асимптотические решения уравнения для f при больших Re и исследовал их поведение; он указал на возможность вязкой неустойчивости плоского течения Пуазёйля с параболическим профилем скорости, но не вычислил Reкр. Гейзенберг и Толмин (1929) выявили важную роль кривизны профиля скорости и вязкости в критическом слое, учёт которых позволил Толмину впервые построить нейтральную кривую для пограничного слоя на плоской пластинке и вычислить, используя в качестве характерной длины толщину вытеснения, Reкр = 420. Г. Шлихтинг рассчитал (1933—35) семейство кривых с постоянными значениями коэффициента нарастания сi и распределение амплитуды возмущения по сечению пограничного слоя. Использовав преобразование поворота осей, Г. Сквайр показал (1933), что при определении Reкр плоских течений несжимаемой жидкости можно ограничиться рассмотрением двумерных возмущений (ψ)*, так как они теряют устойчивость при меньших Re, чем более общие трёхмерные возмущения. Г. И. Петров применил (1940) для исследования У. г. метод Б. Г. Галёркина, который оказался очень полезным в дальнейшем при проведении расчётов на ЭВМ (метод Галёркина — Петрова). Впервые экспериментально синусоидальные колебания в ламинарном пограничном слое наблюдались (1947) Г. Шубауэром и Г. Скрэмстедом после того, как в аэродинамической трубе, где велись опыты, начальная турбулентность была снижена до 0,02—0,03% средней скорости потока; их результаты подтвердили основные выводы линейной теории. Линь Цзя-цзяо завершил (1944—45) разработку основ асимптотической теории, справедливой для больших Re, и строго доказал наличие вязкой неустойчивости у плоского течения Пуазёйля, использовав свой аналитический метод расчёта нейтральной кривой; он рассчитал также эту кривую для пограничного слоя на плоской пластинке, которая лучше прежних совпала с опытными данными, и получил приближённые формулы для оценки Reкр.
На пограничный слой в сжимаемой жидкости асимптотическую теорию обобщили (1946) Л. Лиз и Линь Цзя-цзяо. Рассматривая только двумерные возмущения с дозвуковой фазовой скоростью относительно внешнего потока, они получили общие критерии невязкой неустойчивости, обусловленной поведением величины ((ρ)V')', где (ρ)(у) — плотность среды. Лиз установил (1947), что охлаждение стенки оказывает на ламинарное течение стабилизирующее влияние, особенно сильное при сверхзвуковых скоростях. Д. Данн и Линь Цзя-цзяо нашли (1955), что для сжимаемой жидкости теорема Сквайра о трёхмерных возмущениях несправедлива, хотя и в этом случае аналогичные преобразования могут быть полезны. Исследования Лиза и Е. Решотко показали (1962), что в сверхзвуковом пограничном слое с ростом Маха числа М внешнего потока амплитуда флуктуаций давления и обмен энергией между возмущением и основным течением в критическом слое заметно уменьшаются, а подвод энергии к возмущению вблизи стенки и вязкая диссипация увеличиваются. В диапазоне 2,5(≲)М(≲)4,5 происходит перестройка нейтральной кривой, у которой образуется вторая петля. Это подтверждается данными опытов Дж. Лауфера и Т. Вребаловича (1960) для М = 2,2 и А. Деметриадиса (1958) для М = 5,8, а также результатами численных расчётов Л. Мэка (1965), показавшего, что перестройка нейтральной кривой связана с появлением следующей моды нейтрального колебания, число которых увеличивается при дальнейшем возрастании числа М.
Особый вид неустойчивости трёхмерных возмущений связан с дестабилизирующим влиянием центробежных сил, на которое указал ещё Рэлей (1917). Классическим примером служит здесь течение между двумя соосно вращающимися цилиндрами, У. г. которого теоретически и экспериментально была изучена Г. Тейлором (1923). Как показал Г. Гёртлер (1940—41), подобная неустойчивость с появлением продольных вихрей возникает и в пограничном слое на вогнутой стенке, что было подтверждено опытами Г. Липмана (1943—45).
Основополагающее исследование по нелинейной теории У. г. стационарных плоских течений было выполнено Л. Д. Ландау (1944). Отправляясь от решения линейной задачи при Re, близких к Reкр, он получил уравнение для квадрата модуля амплитуды и указал на возможность ограничения экспоненциального роста возмущений, что может привести к появлению нового периодичного во времени течения с конечной амплитудой и своим Reкр, после превышения которого оно также станет неустойчивым. Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате последовательной смены таких течений, приобретающих всё более сложную и, наконец, хаотичную форму. Д. Мексин и Дж. Стюарт (1951) показали, что вследствие искажения плоского течения Пуазёйля конечными возмущениями Reкр может уменьшаться. Стюарт (1960—62) и Дж. Уотсон (1960) предприняли попытки использовать методы, основанные на разложениях функции тока в ряды Фурье, и после упрощений также получили уравнение Ландау с неизвестной постоянной, определить которую не удалось из-за больших вычислительных трудностей. В. В. Струминский применил (1963—65) для изучения нелинейных непериодических процессов видоизменённый метод Ж. А. Пуанкаре, представив функцию тока и независимую переменную t в виде рядов по степеням малого параметра; он показал, что при t(→ ∞) решение нелинейного уравнения стремится к стационарному решению, обосновав основной вывод Ландау.
С середины 1950-х гг. в теории У. г. все большее распространение получают численные методы: Л. Томас (1953) впервые рассчитал на ЭВМ характеристики устойчивости течения Пуазёйля; В. Браун (1959) исследовал устойчивость поперечных течений в пограничном слое на вращающемся диске и стреловидном крыле, а Л. Мэк (1960—60) и Браун (1961—65) — устойчивость ламинарного пограничного слоя в сжимаемой жидкости. Использование численных методов и ЭВМ существенно расширило возможности исследования У. г.; оно позволило во многих важных случаях установить связь между характеристиками устойчивости ламинарных течений и наблюдаемыми в экспериментах числами Re перехода.

Авиация: Энциклопедия. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Главный редактор Г.П. Свищев. 1994.