ФРАКТАЛЫ

ФРАКТАЛЫ
ФРАКТАЛЫ

- множества с крайне нерегулярной разветвлённой или изрезанной структурой. Термин "Ф." предложен Б. Мандельбротом (В. Mandelbrot) [1 ], хотя подобные объекты изучались в математике с кон. 19 в. Простейшим примером Ф. является канторово множество, к-рое строится следующим образом. Из отрезка [О, 1 ] выбрасывается центр. часть длиной 1/3. Из полученных двух отрезков [0, 1/3] и [2/3, 1] также выбрасываются центр. части, составляющие 1/3 длины отрезков, и т. д. В пределе получается нигде не плотное множество, имеющее мощность континуума и нулевую длину (меру Лебега). Процесс построения канторова множества допускает многомерные обобщения. В двумерном случае единичный квадрат разбивается на первом шаге на девять квадратов со стороной 1/3 и центр. квадрат выбрасывается. Затем та же процедура повторяется с каждым из оставшихся квадратов. Полученный в пределе Ф. наз. ковром Серпинского (см. рис., показаны первые 3 этапа построения).

5075-63.jpg

Осн. характеристикой Ф. служит хаусдорфова, или фрактальная, размерность (ФР). По одному из определений Ф. наз. множество, для к-рого ФР строго больше топологич. размерности (см. также Топология). ФР строится следующим образом. Рассматривается произвольное покрытие x Ф. М конечным или бесконечным набором шаров {Oi} радиуса ri<e. Размерность Ф. М наз. такое число d>=0, что при 5075-64.jpg для всех g>d и 5075-65.jpg при e->0 5075-66.jpg для всех g<d Можно показать, что такое пограничное d существует и единственно. Для канторова множества ФР d =ln2/ln3, а для двумерного ковра Серпинского d=ln8/ln3. Примерами естеств. Ф. являются береговая линия материков и островов, снежинки, броуновские кривые и т. д. Соответствующие ФР либо вычисляются, либо определяются экспериментально.

Большой интерес к Ф. в физ. литературе связан с тем, что Ф. возникают в реальных физ. задачах, причём в типичных, а не экзотич. ситуациях. Наиб. часто Ф. встречаются в задачах нелинейной динамики, гидродинамики, статистич. механики, и в частности в теории фазовых переходов, в теории полимеров, в хим. кинетике и др.

В нелинейной динамике Ф. возникают как аттракторы у диссипативных динамических систем. Аттракторами наз. множества в фазовом пространстве, притягивающие траектории динамич. системы. При этом, если аттрактор является Ф., его наз. странным аттрактором. Существование странных аттракторов является типичным свойством диссипативных динамич. систем. В случае дискретных отображений примером может служить аттрактор Фейгенба-ума (см. Фейгенбаума универсальность). Хорошо изучен механизм образования и свойства аттрактора Лоренца (Е. Lorenz), отвечающего системе ур-ний Лоренца

5075-67.jpg

при значениях параметров r=28, b=8/3, s=10[2]. Локально аттрактор Лоренца имеет структуру прямого произведения канторова множества на двумерную плоскость (т. н. книга Лоренца). Наиб. важным примером фрактальных аттракторов являются странные аттракторы, возникающие в ур-ниях Навье - Стокса ([3], [4]).

Примером Ф. в статистич. механике может служить критич. бесконечный проводящий кластер, возникающий в задачах протекания теории. В наиб. характерных случаях проводящий кластер состоит из связного набора рёбер d -мерной целочисленной решётки 5075-68.jpg, поэтому определение ФР, данное выше, требует уточнения, к-рое делается следующим образом. Введём число рёбер N(R )кластера, находящихся внутри шара радиусом R. Тогда N(R)~const Rv где константа v и выбирается в качестве ФР или размерности подобия. Значение v зависит от размерности решётки d и определяется численно: 5075-69.jpg Отдельно изучают остов или "скелет" проводящего кластера, т. е. ту часть кластера, по к-рой течёт ток (отбрасываются "мёртвые концы"). ФР v1 "скелета" бесконечного кластера также определяется численно:5075-70.jpg

v1(d=3)=2[5].

Своеобразные Ф. возникают в теории агрегации. В простейшей ситуации процесс агрегации можно описать так: в начале координат решётки 5075-71.jpg помещается затравочная частица, к к-рой прилипают др. частицы, броуновски блуждающие по решётке. Прилипшие частицы приклеивают к себе новые частицы и т. д. В результате такого процесса возникает сильно разветвлённый фрактальный кластер - дендрит. В каждый момент времени дендрит конечен, однако его ФР можно определить с помощью асимптотики M(R)~constRv2, где М- число частиц дендрита, находящихся внутри шара радиусом R. Численные эксперименты дают значения 5075-72.jpg

Все рассмотренные выше Ф. обладают определ. свойствами масштабной инвариантности (скейлингом). Так, кан-торово множество и ковёр Серпинского можно представить в виде объединения соответственно двух и восьми подмножеств, линейные размеры к-рых в 3 раза меньше размеров исходных множеств. Заметим, что в случае, когда множество разбивается на N подмножеств, каждое из к-рых в R раз меньше всего множества, ФР d=lnN/lnR. В этой ситуации скейлинговая структура определяется одним масштабным множителем R. Однако в большинстве реальных случаев масштабные множители неоднородны, т. <е. во Ф. имеется целый спектр скейлингов. Такие Ф. наз. мультифракталами. Типичным примером является аттрактор Фейгенбаума. Обычно мультифракталы характеризуют спектром размерностей f(a) определяемым следующим образом [7 ]. Рассматривается покрытие x Ф. М набором N шаров радиусом ri, 1<=i<=N. Вначале определяются ф-ция

5075-73.jpg

и обратная ф-ция t=t(q). Спектр размерностей f(a) является преобразованием Лежандра от ф-ции t(q), т. е.

5075-74.jpg

Макс. значение f(a) совпадает с ФР множества.

Лит.:1) Mandelbrot В. В., The fractal geometry of nature, S. F., 1982; 2) Афраймович B.C., Быков В. В., Шильни-ков Л. П., О возникновении и структуре аттрактора Лоренца, "ДАН СССР", 1977, т. 234, № 2, с. 336; 3) Темам Р., Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ, пер. с англ., М., 1981; 4) Бабин А. В., Вишик М. И., Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности, "УМН", 1983, т. 38, в. 4, с. 133; 5) Stauffer D., Scaling theory of percolation clusters, "Phys. Repts", 1979, v. 54, № 1, p. 1; 6) Meakin P., Diffusion controlled cluster formation in two, three and four dimension, "Phys. Rev. A", 1983, v. 27, № 1, p. 604; 7) Halsey Т. С. [e. a. ], Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets, "Phys. Rev. A", 1986, v. 33, № 2, p. 1141.

К. М. Ханин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ФРАКТАЛЫ" в других словарях:

  • Фракталы — Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… …   Википедия

  • фракталы — множества с крайне нерегулярной разветвлённой или изрезанной структурой. Термин введён Б. Мандельбротом (B. Mandelbrot) в 1975, хотя подобные объекты изучались в математике с конца XIX в. Основной характеристикой фракталов является дробная (так… …   Энциклопедический словарь

  • ФРАКТАЛЫ — множества с крайне нерегулярной разветвлённой или изрезанной структурой. Термин введён Б. Мандельбротом в 1975, хотя подобные объекты изучались в математике с кон. 19 в. Осн. характеристикой Ф. является дробная (т. н. фрактальная) размерность.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Фрактальная графика — Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… …   Википедия

  • Фрактал — Множество Мандельброта  классический образец фрактала …   Википедия

  • Бассейны Ньютона — Бассейны Ньютона …   Википедия

  • Круговой фрактал — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/25 ноября 2012. Пока процесс обсуждени …   Википедия

  • Фрактал Ляпунова — Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4]. Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса Ляпунова) бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического… …   Википедия

  • Фрактальная монотипия — (англ. fractal monotype)  вид фрактальных рисунков, которые получены методом монотипии. Фрактальная монотипия  естественный фрактал на акриле Glue1 Впервые применил технику монотипии в XVII столетии итальянский художник Джованни… …   Википедия

  • фрактал — В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, часто игнорировались как… …   Справочник технического переводчика


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»