РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ это:

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

- геометрия риманова пространства. Осн. <понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространствас произвольным метрическим тензором gij.

Скалярное произведение касательных векторов 8010-105.jpg8010-106.jpgвточке х определяется ф-лой 8010-107.jpg. Это позволяет определить длины векторов 8010-108.jpgи углы между векторами в данной точке. Длина (s )кривой, х i= xi(t), i = 1,..., n;8010-109.jpg,определяется ф-лой
8010-110.jpg

где 8010-111.jpg- вектор скорости.

Расстояние 8010-112.jpgмежду точками х н у определяется как минимум длин кривых, <соединяющих точки х и у. Ф-ция 8010-113.jpgзадаёт метрику в римановом пространстве.

Объём области U риманова пространства определяется ф-лой
8010-114.jpg

На k -мерной поверхности, заданной в римановом пространстве впараметрич. виде,8010-115.jpg, i= 1,..., п, возникает метрич. тензор
8010-116.jpg

наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы н объёмы k -мерных областей на поверхности вычисляются в терминах внутреннейгеометрии, т. о. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностейв трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. <Большое внимание уделяется изучению минимальных поверхностей, т. е. экстремалейфункционала k -мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (при k = 2 )являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальныеповерхности в пространстве Минковского описывают классич. динамику струнырелятивистской.

Дифференц. исчисление тензоров в римановом пространстве основанона введении симметричной связности,, согласованной с метрикой gij. Её Кристоффеля символы имеют вид
8010-117.jpg

Кривизны, тензор .8010-118.jpg этойсвязности определяет кривизну риманова пространства, характеризующуюего отличие от евклидова.

Д в и ж е н и я рнманова пространства определяются как преобразования, <сохраняющие метрику. Однопараметрич. группы движений определяются векторнымиполями К и л л и н г а 8010-119.jpg, удовлетворяющими соотношениям:8010-120.jpg,где 8010-121.jpg,8010-122.jpg- ковариантная производная. Сдвиги вдоль траекторий системы,8010-123.jpg, i = 1, ...,n, определяют движения пространства. Движения n -мерногориманова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит п(п-1). Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерамипространств с группой движений макс. размерности служат евклидово пространство, <сфера (метрика 8010-124.jpg,8010-125.jpg- Кронекера символ), простпанство лобачевского (метрика 8010-126.jpg-8010-127.jpg.Если группа движении достаточно богата, так что с помощью движения любуюточку х можно перевести в заданную точку у, то риманово пространствоназ. однородным. Если для люоой точки существует движение, являющееся симметриейпространства с центром в этой точке, то однородное пространство наз. сим метрическим. Локально симметрические пространства выделяются условиемпостоянства кривизны,8010-128.jpg.Теория симметрических и римановых однородных пространств сочетает применениеР. г. и методов теории групп Ли. Идей и методы этой теории используютсяпри изучении однородных космологических моделей общей теории относительности.

Конформными наз. такие преобразования ряманова пространства, при к-рыхметрика подвергается растяжению,8011-1.jpg. Конформные преобразования n -мерного риманова пространства при 8011-2.jpgобразуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит ( п+ 1)(n+ 2)/2. Инвариантностью относительно конформных преобразованийобычно обладают теории безмассовых частиц.

Геодезическая линия - экстремаль функционала длины, рассматриваемогона кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид
8011-3.jpg

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:
8011-4.jpg

Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединитьлокально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию 8011-5.jpg.Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая 8011-6.jpgнеограниченно продолжается по t. В полном римановом пространствелюбые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной).Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляетважный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многиеур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, <методы теории геодезических применимы для получения качеств. информациио характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивныечастицы движутся по времениподобным (а безмассовые - по изотропным) геодезическим индефинитной метрики., в основном изучаются именно такие геодезические. <Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличиезамкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнотатрактуется как наиб. универсальный способ определения сингулярности пространства-времени.

Важная задача Р. г. - установление зависимости между геометрией римановапространства и его топологией. Простейшим примером такой зависимостиявляется ф-ла Гаусса - Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:
8011-7.jpg

где К- гауссова кривизна поверхности,8011-8.jpg- элемент площади, g - топологич. характеристика поверхности, равнаячислу ручек (напр., для сферы g= 0, для тора g =1). Длямногомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики(характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензоракривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на римановопространство из соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшимпримером является такое утверждение: полное односвязное (т. е. любой замкнутыйпуть стягивается в точку) риманово пространство отрицат. кривизны топологическиевклидово.

Комплексный аналог Р. г. - теория пространств с эрмитовой метрикой, <записываемой в комплексных, координатах 8011-9.jpgв виде 8011-10.jpg (чертаозначает комплексное сопряжение), причём 8011-11.jpg.В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде 8011-12.jpg,если ввести изотормич. координаты x1, х 2, такие, что 8011-13.jpg,и положить

8011-14.jpg ,8011-15.jpg (здесь i- комплексная единица). Конформные преобразования сводятсятогда к комплексно-аналитич. заменам,8011-16.jpg,8011-17.jpg,и сопряжению 8011-18.jpg

Большинство методов Р. г. переносятся на псевдори-мановы пространства, <в к-рых задана индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратом общей теории относительности.

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М.,1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М.,1967; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М.,1961; Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современнаягеометрия, 2 изд., М., 1986; их же, Современная геометрия. Методы теориигомологии, М., 1984. Б. А. Дубровин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — многомерное обобщение геометрии на поверхности (т. е. геометрии 2 мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Риманова геометрия —         многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка… …   Большая советская энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • Риманова геометрия — Не следует путать с геометрия Римана. Риманова геометрия это раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, т. е. гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой,… …   Википедия

  • риманова геометрия — многомерное обобщение геометрии на поверхности (то есть, геометрии 2 мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при… …   Энциклопедический словарь

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — многомерное обобщение геометрии на поверхности (т. е. геометрии 2 мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств. в малых областях к рых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ — раздел римановой геометрии, изучающий связи между локальными и глобальными характеристиками римановых многообразий (р. м.). Термин Р. г. в ц. обычно относят к определенному кругу проблем и методов, характерных для геометрии в целом. Основное… …   Математическая энциклопедия

  • ГЕОМЕТРИЯ — (от гео... и ...метрия) раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения (напр., взаимное расположение) и формы (напр., геометрические тела) и их обобщения. Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… …   Большая советская энциклопедия

  • геометрия — и; ж. [греч. gē Земля и metreō измеряю]. Раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения. // Учебный предмет, излагающий этот раздел математики. Урок геометрии. Преподаватель геометрии. // Разг. Учебник по этому предмету. * * *… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»