РЕШЁТКИ МЕТОД

РЕШЁТКИ МЕТОД

в квантовой теории поля (КТП) - метод проведениячисленных вычислений и анализа качественных свойств разл. моделей в осн. <в теориях калибровочных полей, включая квантовую хромодинамику (КХД), основанный на аппроксимации непрерывного пространства-временидискретной совокупностью точек - решёткой. Наиб. часто используется кубич. <решётка, точки к-рой (наз. узлами) расположены в вершинах кубов, заполняющихпространство. Кратчайший промежуток между двумя соседними узлами наз. ребром, <а длина ребра - шагом решётки.

Простейшим примером КТП на решётке является теория скалярного поля, <для к-рого рассматриваются лишь его значения в узлах решётки, а входящиев ур-ния движения производные аппроксимируются конечными разностями. Значенияполей в узлах решётки являются динамич. переменными задачи. Поскольку вовсех практич. приложениях рассматриваются решётки конечного размера, тоКТП на решётке превращается в теорию с конечным числом степеней свободы, <определяющимся числом узлов. Для удовлетворит. описания непрерывных конфигурацийполя необходимо, чтобы шаг решётки был гораздо меньше характерного масштабаизменения полей (в случае гладких конфигураций этого всегда можно добиться, <достаточно уменьшив шаг решётки). При решёточной формулировке спинорногополя его значения также приписываются узлам решётки, в то время как значения векторного поля приписываются рёбрам.

Для вычисления средних по квантовым флуктуациям полей используется либогамильтонов метод, когда время остаётся непрерывным, либо евклидова формулировка(см. Евклидова квантовая теория поля), для к-рой решётка вводитсяи по четвёртой оси. Гамильтонов метод даёт возможность описывать пространственно-временнуюдинамику разл. процессов, а евклидова формулировка очень удобна для расчётовстационарных (не зависящих от времени) величин, таких, как массы частицили потенциалы их взаимодействия, и позволяет воспользоваться для нахождениясредних представлением функционального интеграла в КТП (см. Функциональногоинтеграла метод).

Возникающие в Р. м. функциональные интегралы можно вычислить аналитическив т. н. области сильной связи, когда шаг решётки гораздо больше, чем характерныймасштаб квантовых флуктуации полей (равный 10^-13 см для КХД),а не меньше его, как нужно для непрерывного предела. Переход к непрерывномупределу осуществляется путём уменьшения шага решётки. При этом типичныефлуктуации становятся распределёнными сразу по многим узлам (для калибровочныхполей - по многим рёбрам) и возникает задача вычисления интегралов большойкратности, к-рая решается с помощью численного Монте-Карло метода.

Поскольку метод Монте-Карло применим лишь к интегралам конечной кратности, <рассматривается решётка с конечным числом узлов по каждой из четырёх осейи накладываются, как правило, периодич. граничные условия (т. е. противолежащиеузлы отождествляются). Как свидетельствуют результаты численных расчётов, <в КХД непрерывный предел для глюонных полей наступает довольно рано, когдашаг решётки составляет ок. 10^-14 см. Это даёт возможность получатьотносящиеся к непрерывному пределу результаты уже на решётке протяжённостью8-10 узлов по каждой оси. Наиб. решётка, к-рая использовалась при численныхвычислениях, составляет 32⁴ узла, что с учётом спина и цветагяюона приводит к интегралу кратности более 3*10⁷.

Решёточная формулировка КХД была предложена в 1974 К. Г. Вильсоном (К.G. Wilson) в связи с проблемой конфайнмента (невылетания) кварков (см. У держание цвета). Калибровочные теории на решётке обсуждались независимотакже Ф. Вегнером (F. VVegner, 1971) и А. М. Поляковым (1974). Гамильтоновметод для КХД на решётке разработан Дж. Когутом (J. Ко-gut) и Л. Саскиндом(L. Susskind) в 1975. Численное изучение свойств решёточных калибровочныхтеорий было инициировано работой А. А. Мигдала (1975). Методика вычисленийпо методу Монте-Карло разработана Л. Джейкобсом (L. Jacobs), М. Кройцем(М. Creutz) и К. Ребби (С. Rebbi) в 1979. В основном расчёты методом Монте-Карлов КХД проводились в т. н. приближении валентных кварков, когда пренебрегаютрождением из вакуума виртуальных кваркантикварковых пар. Выполнены такжерасчёты, к-рые свидетельствуют о том, что учёт виртуальных кваркантикварковыхпар не меняет существенно большинства результатов, полученных в этом приближении.

В приближении валентных кварков было показано (М. Кройц, 1979), чтоконфайнмент кварков, имеющий место в области сильной связи, остаётся ипри уменьшении шага решётки; проводились вычисления зависимости потенциаламежду тяжёлыми кварками от расстояния между ними, значения масштабногомассового параметра КХД, спектра масс глюболов с разл. квантовымичислами, величин вакуумных конденсатов, масс разл. мезонов и барионови нек-рых констант, описывающих их распады. Особое место занимают вычисленияв КХД при конечной темп-ре, где были рассчитаны значение темп-ры (ок. 2,5*10¹² К),при к-рой конфайнмент исчезает и происходит фазовый переход от адроновк кварк-глюонной плазме, температурная зависимость плотности энергиисистемы и её кол-во, поглощаемое при фазовом переходе, а также значениетемп-ры, при к-рой разрушается кварковый конденсат.

Хотя вычисленные в КХД методом Монте-Карло значения физ. величия и находятсяв согласии с опытом (когда такое сравнение можно провести), неопределённостьрасчётов пока довольно велика, напр. для масс адронов она превышает 100МэВ/с ². Ведутся работы, направленные на то, чтобы уменьшитьэту неопределённость за счёт уменьшения статистич. погрешности, увеличенияразмера решётки и учёта вклада виртуальных кварков. В частности, создаютсяпроцессоры, специально предназначенные для выполнения численных расчётовв КХД.

Лит.: Wilson К. G., Continment ol quarks, «Phys. Rev.», 1974,v. D10, p. 2445; Creutz M., J а с о b s L., В: е b b i С .,Monte-Carlocomputations in lattice gauge theories, «phys. Repts», 1983, v. 05, p.201; К о g и t J., The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics,«Rev. Mod. Phys.», 1983, v. 55, p. 775; М а к е е н к о Ю. М., Метод Монте-Карлов калибровочных теориях на решетке, «УФН», 1984, т. 143, в. 2, с. 161;Кройц М., Кварки, глюины и решетки, пер. с англ., М. 1987. Ю. М. Макеенко.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.