ОСОБАЯ ТОЧКА

ОСОБАЯ ТОЧКА

аналитической функции- точка, в к-рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек-рой окрестности точки z₀ всюду, <кроме этой точки, и не имеет там другой О. т., то z₀ наз. изолированной О. т. ф-ции f(z). Если существует конечный предел f(z)при zz₀, то изолированная О. т. наз. устранимой; если пределравен бесконечности или не существует, то z₀ наз. полюсом илисущественно особой точкой. Устранимая О. т. характеризуется тем, что разложение f(z) в Лорана ряд в окрестности z₀ не содержит членов с отрицат. степенями (z - z₀)[так что z₀ фактически не является О. т. ф-цип f(z)].В случае полюса разложение f(z) в ряд Лорана содержит лишьконечное число таких членов, а в случае существенно особой точки - бесконечное. <Если ф-ция f(z) допускает аналитическое продолжение вдольлюбого контура, содержащегося в нек-рой окрестности точки z₀,но не проходящего через z₀, причём в результате однократногообхода точки z₀ получаются др. значения f(z),то z₀ наз. ветвления точкой.
В аналитической теории дифференциальныхуравнений О. т. ур-ния наз. точка комплексной плоскости, к-рая являетсяО. т. хотя бы для одного из коэф. ур-ния. Такие О. т. являются особымии для решений (неподвижные О. т.). Имеются также подвижные О. т., положениек-рых определяется нач. условиями.

Лит. см. при ст. Аналитическаяфункция.

Б. И. Завьялов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.