ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД

- метод исследования нек-рых нелинейных уравнений математическойфизики. Введён К. Гарднером (С. S. Gardner), Дж. Грином (J. М. Greene),М. Крускалом (М. D. Kruskal) и Р. Миурой (R. М. Miura) в 1967, хотя отд. <элементы метода были известны ещё в 19 в. (см. Беклунда преобразование). Основанна представлении исследуемого нелинейного ур-ния в виде условия совместностидля системы линейных ур-ний. Первонач. вариант метода, использующий теориюрассеяния для дифференц. операторов (отсюда назв. метода), был применёнк Кортевега - де Фриса уравнению

к-рое является условием совместности переопределённойлинейной системы ур-ний

и эквивалентно операторному соотношению(представлению Лакса)

Ур-ние (2) - стационарное одномерное Шрёдингерауравнение с потенциалом и(х, t), зависящим от времени t какот параметра [предполагаем, что и(х, t )достаточно быстро убываетпри ].
Основные понятия. Волновые ф-ции соответствующие непрерывному спектру оператора определим асимптотич. выражениями

Из представления (4) следуют соотношения

Ф-ция имеет смысл амплитуды рассеяния назад, ф-ция - амплитуды рассеяния вперёд. Ф-ция аналитична и имеет на верх. мнимой полуоси конечное число нулей определяющих дискретный спектр оператора Шрёдингера Положение нулей не зависит от времени. Собств. ф-ции дискретного спектра определим нормировкой при тогда при х--> -Из ф-л (5) следует, что

Рассмотрим интегральное уравнение Гельфанда- Левитана - Марченко для ф-ции К (х,z), позволяющей решить обратнуюзадачу рассеяния:

здесь

При помощи ф-лы и(х)=2dK(x,x)/dx можно восстановить потенциал в ур-нии Шрёдингера (2) по наборут. н. данных рассеяния, т. е. величин с _п. При физически очевидных предположениях М ²_n эта задача однозначно разрешима.
Вместо данных рассеяния можно говоритьо функции
О. з. р. м. основан на соотношениях (5),(6), определяющих зависимость данных рассеяния от времени и позволяющихрешать задачу Коши для ур-ния (1) по схеме

На I этапе решается прямая задача рассеяния, <на III этапе - обратная. Для эфф. решения этих задач, вообще говоря, необходимычисленные расчёты. Достоинство О. з. р. м. состоит в том, что он позволяетсколь угодно далеко продвинуться по времени без потери точности.
При ур-ние (7) сводится к системе N линейных алгебраич. ур-ний и егорешение выражается в элементарных ф-циях. Это решение описывает взаимодействие . уединённых волн ( солитонов )и наз. N -солитонным. Прилюбом t профили. N -солитонных решений представляют собойпо отношению к ур-нию Шрёдингера безотражат. потенциалы (потенциалы Баргмана),на к-рых не происходит отражения назад.
Описанный вариант О. з. р. м. можно рассматриватькак нелинейный аналог метода разделения переменных при решении задачи Кошидля линейных эволюц. ур-ний (напр., диффузии уравнения). Этот вариантметода можно использовать также для решений ур-ния Кортевега - де Фриса, <убывающих в одном направлении, но нельзя использовать для неубывающих решений. <Нек-рые из таких решений можно построить методами алгебраич. геометрии. <Профили этих решений - периодич. или квазипериодич. потенциалы, в непрерывномспектре к-рых имеется конечное число п запрещённых зон (см., напр.,Бриллюэна зона). Простейший из них (однозонный потенциал) выражаетсячерез эллиптические функции и описывает частное решение ур-ния (1) - стационарнуюпериодич. волну. Общее решение (n -зонный потенциал) описывает взаимодействие п таких волн. С n -зонными потенциалами связаны -функцииЯкоби, при помощи к-рых можно записать и решения линейной системы (2),(3) - функции Блоха.
Применение метода. Описанная схема применимак разл. нелинейным дифференц. и интегро-дифференц. ур-ниям, представимымв виде

Здесь - произвольная рациональная ф-ция переменной а - т. <н. рекурсионный оператор:

[для ур-ния Кортевега - де Фриса ]. В частном случае ур-ния (8) (т. н. высшие ур-ния Кортевега - де Фриса) являются дифференциальнымии имеют порядок (2 т + 1). Ур-ния (8) являются условиями совместностилинейной системы ур-ний, к-рая отличается от системы (2), (3) видом оператора .Если - полином по переменной то -дифференц. оператор.
Все ур-ния (8) имеют n -солитонныеи конечнозонные решения. Каждое из ур-ний (8) имеет бесконечное число интеграловдвижения. В качестве интеграла можно взять любой функционал от сохраняющейсяф-ции Интегралы вида

можно выразить через ф-цию и и еёпроизводные по х, напр.:

Все ур-ния (8) являются гамильтоновымисистемами. Однако гамильтонова структура задаётся для них неоднозначно. <Для задания этой структуры нужно определить скобку Пуассона между функционалами от ф-ции и. Кроме обычной скобки Пуассона

можно ввести след, скобку Пуассона

Здесь - произвольная рациональная ф-ция переменной
Любая из скобок Пуассона между любымидвумя интегралами движения равна 0. Этот факт тесно связан со свойствомполной интегрируемости: нелинейное ур-ние в частных производных (8) распадаетсяна бесконечную систему обыкновенных дифференц. ур-ний.
Дальнейшее расширение класса ур-ний, кк-рым применим О. з. р. м., связано с др. выбором оператора В качестве можно взять оператор 3-го или более высокого порядка. С каждым оператором связаны свой рекурсионный оператор и своя бесконечная серия ур-ний вида(8). Лишь нек-рые из этих ур-ний имеют физ. применения. Так, оператор 3-гопорядка позволяет исследовать возникающее в теории нелинейных волн ур-ниеБуссинеска

u_tt +u_xx+ и _хххх+ (u²) _хх=0.

В качестве оператора можновзять разностные операторы, что позволяет применить О. з. р. м. к дифференциально-разностнымур-ниям, среди к-рых особенно интересны ур-ние Вольтерры

встречающееся в матем. биофизике и теорииплазменной турбулентности, а также ур-ние для цепочки. Тода

описывающее нелинейную модель одномерногокристалла. Оператор может быть сингулярным интегральным оператором, такие операторы возникаютв краевых задачах теории аналитич. ф-ций. Их можно использовать для изучениянелинейных ур-ний, возникающих в теории внутр. волн. Оператор может быть матричным. Так, для применения О. з. р. м. к Шрёдингера уравнениюнелинейному нужно подставить в ур-ние (2) вместо оператора одномерный оператор Дирака (см. Дирака уравнение). При изученииважной для нелинейной оптики задачи о резонансном взаимодействии системытрёх волн с помощью О. з. р. м. в качестве следует использовать обобщение оператора Дирака.
Обобщения метода. Описанная схема О. з. <р. м. допускает разл. обобщения. Зависимость ур-ний, входящих в линейнуюсистему, от спектрального параметра может описываться рациональными или эллиптич. ф-циями и даже дифференц. <операторами по Условия совместности линейной системы образуют разнообразный набор нелинейныхур-ний, имеющих, вообще говоря, переменные коэффициенты. Многие из этихур-ний находят применение в физике, напр. в нелинейной оптике, теории ферромагнетизмаи общей теории относительности. Для отыскания солитонных решений этих ур-нийразвиты простые методы, основанные на свойствах аналитич. ф-ций.
Существует неск. вариантов обобщения О. <з. р. м. на многомерный случай, однако лишь нек-рые ур-ния используютсяв физике, напр. Кадомцева- Петвиашвили уравнение и ур-ниедуальности для Янга - Миллса полей. Теория таких ур-ний не завершена.
Развитие О. з. р. м. позволило по-новомувзглянуть на теорию конечномерных интегрируемых систем. В О. з. р. м. можновключить почти все известные системы такого рода. О. з. р. м. стимулировалисследования в разл. областях математики (спектральная теория дифференц. <операторов, классич. алгебраич. геометрия). Результаты этих исследованийиспользуются в теории элементарных частиц (релятивистские струны).

Лит.: Теория солитонов. Метод обратнойзадачи, М., 1980; Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М.,1983; Абловиц М., Сигур X., Солитоны и метод обратной задачи, пер. с англ.,М., 1987.

В. Е. Захаров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.