СХЕМА АКСИОМ

СХЕМА АКСИОМ
СХЕ́МА АКСИО́М
(аксиомная схема) – разновидность постулатов, с помощью к-рых в логике задаются исчисления (формальные системы). С а. представляет собой выражение, составленное из т.н. метаматем. букв. т.е. символов, не входящих в алфавит рассматриваемой системы, а лишь о б о з н а ч а ю щ и х произвольную формулу данной системы (см. Метаязык). При подстановке вместо каждой метаматем. буквы, входящей в данную С. а., к.-л. (одной и той же для каждой буквы) конкретной формулы системы получается конкретная аксиома этой системы. Напр., при подстановке в С. а. исчисления высказываний (см. Логика высказываний) A ⊃ (B ⊃ A) формулы А вместо метаматем. буквы А и формулы A ⊃ B вместо В получается аксиома А ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ A), при подстановке С вместо А и С вместо В – аксиома С ⊃ (С ⊃ С) и т.п. Т. о., каждая С. а. заменяет бесконечное множество аксиом, получающихся из нее путем всевозможных подстановок формул вместо метаматематич. букв. Логич. исчисление, описываемое с помощью конечного числа C. a., может быть преобразовано в дедуктивно эквивалентное ему (т.е. имеющее тот же класс доказуемых формул) исчисление, описываемое тем же числом аксиом, но содержащее дополнит. правило вывода – т.н. правило подстановки, согласно к-рому из каждой теоремы (в том числе, конечно, и из аксиомы) можно получить новую теорему подстановкой произвольной tiopMyflbi вместо каждого вхождения одной и той же уквы из алфавита данной системы в эту формулу. Так, вместо рассмотренной выше C. a. можно было бы взять аксиому A ⊃ (B ⊃ A), из к-рой затем уже получить теоремы (но не аксиомы!): А ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ A), С ⊃ (С ⊃ С) и т.п. В т.н. прикладных логико-матем. исчислениях (напр., в арифметике или аксиоматич. теории множеств) замена С. а. на аксиому требует уже, вообще говоря, более существенного расширения запаса логич. средств, нежели только добавления нового правила вывода. Напр., С. а. математической индукции А(0) & ∀ n (А(n) ⊃ A(n+1)) ⊃ m A(m) может быть заменена аксиомой матем. индукции ∀ А(А(0) & ∀ n (А(n) ⊃ А(n +1)) ⊃∀ mА(m)) лишь за счет перехода от узкого исчисления предикатов к т.н. расширенному исчислению предикатов, допускающему употребление кванторов по предикатным переменным и включающему дополнит. аксиомы и правила вывода для преобразования формул, содержащих такие кванторы. Системы, к-рые можно формулировать с помощью к о н е ч н о г о числа аксиом лишь за счет перехода к исчислению предикатов высшего порядка, наз. н е э л е м е н т а р н ы м и, в отличие от элементарных теорий (конечно) аксиоматизируемых на базе узкого исчисления предикатов. См. Метод аксиоматический, Предикатов исчисление.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 19; Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 7, 27.
Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. . 1960—1970.


.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "СХЕМА АКСИОМ" в других словарях:

  • АКСИОМ СХЕМА — единый способ задания аксиом, обладающих одной и той же синтаксич. структурой. Конкретная А. с. обычно реализуется при помощи фиксирующего ее синтаксич. структуру выражения (чаще всего не принадлежащего языку, в к ром записываются аксиомы) и… …   Математическая энциклопедия

  • Схема преобразования — Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств: , где Схему преобразования можно сформулировать по русски, а именно: Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое]… …   Википедия

  • Система аксиом фон Неймана — Cистема аксиом фон Неймана  Бернайса  Гёделя (NBG, аксиоматика Гёделя  Бернайса) в метаматематике  одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело  Френкеля с …   Википедия

  • АРБИТРАЖНАЯ СХЕМА — правило, по к рому каждой игре с дележами (см. Кооперативная игра).ставится в соответствие единственный дележ этой игры, наз. а р битражным решением. Первоначально А. с. были рассмотрены Дж. Нэшем [1] для случая игры двух лиц. Пусть множество… …   Математическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ — полная математическая индукция (наз. в математике часто просто полной индукцией; в этом случае это понятие следует отличать от рассматриваемого в нематематич. формальной логике понятия полной индукции), – прием доказательства общих предложений в… …   Философская энциклопедия

  • МИНИМАЛЬНАЯ ЛОГИКА —         логич. система, являющаяся ослаблением конструктивной логики и интуиционистской логики за счёт исключения из числа постулатов принципа «из противоречия следует любое предложение». Этот принцип, как и более сильный «закон двойного… …   Философская энциклопедия

  • АРИФМЕТИКА ФОРМАЛЬНАЯ — арифметическое исчисление, логико математич. исчисление, формализующее элементарную теорию чисел. Язык наиболее употребительного варианта А. ф. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы (прибавление 1) и… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОГРАММИРОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ — математическая дисциплина, изучающая математич. абстракции программ, трактуемых как объекты, выраженные на формальном языке, обладающие определенной информационной и логич. структурой и подлежащие исполнению на автоматич. устройствах. П. т.… …   Математическая энциклопедия

  • Формальная арифметика —         формулировка арифметики в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Язык Ф. а. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, •, (прибавление 1) и логические связки (см …   Большая советская энциклопедия

  • Тождество —         основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.          В математике Т. это Уравнение, которое удовлетворяется тождественно, то есть… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»