МОНОТОННОСТЬ

МОНОТО́ННОСТЬ

(от греч. μονότονος – однотонный) – свойство нек-рых логических или математических операций (функций), состоящее, грубо говоря, в том, что направление возможного изменения результата операций зависит только от направления изменения того, над чем эта операция производится. Одним из наиболее известных примеров М. является след. свойство сложения действит. чисел: если α≤b, то а+с≤b+с; вообще, если а≤b и c≤d, то а+с≤b+d. Иначе говоря, при увеличении или неизменности слагаемых сумма т о ж е увеличивается или остается неизменной. Другим примером М. является то свойство функции f(x)=–x, что из а≤b следует f(a)≥f(b). Вообще, функция g(x), определенная на области всех или нек-рых действит. чисел и имеющая своими значениями тоже лишь действит. числа, наз. м о н о т о н н о й, если имеет место, по крайней мере, одно из двух: 1) для всяких a и b (из области определения функции) из а≤b следует g(a)≤g(b), 2) для всяких a и b из а≤b следует g(a)≥g(b). В первом случае функция g наз. возрастающей, или изотонной, а во втором случае – убывающей, или антитонной. Если функция g(x) и h(x) монотонны, то и функция g(h(x)) тоже монотонна. Для удобства обобщения этой теоремы на случай неск. переменных термин "М." часто (особенно в логике) употребляют в более узком смысле, относя его лишь к первому случаю. При этом М. функции g(x1, x2, ..., хn) (точнее, ее изотонность) определяется как след. свойство: для всяких а1, а2, ..., аn, b1, b2, ..., ..., bn из того, что а1≤b1, a2≤b2, ..., an≤bn, следует g(а1 а2, ..., аn) ≤g (b1, b2, ..., bn).

Благодаря обычному в алгебре логики отождествлению значения "истина" с числом 1, а значения "ложь" – с 0, понятие М. становится применимым к функциям алгебры логики. Напр., для всяких А, В, С и D (равных 0 или 1) из того, что А≤В и C≤D, следует A/C≤B/D. T. е. (неразделительная) дизъюнкция является изотонной функцией. Изотонными являются также конъюнкция, константы 0 и 1 (рассматриваемые как функции; напр., g0 (A)=0), а также все функции, представимые через конъюнкцию и дизъюнкцию (напр., медиана (А, В, С)=АВ/АС/ВС). Других изотонных функций алгебры логики не существует. Отрицание А оказывается убывающей функцией: из A≤B следует А≤В. Т. к. здесь отношение A≤B эквивалентно истинности материальной импликации A⊃B, то эти примеры М. можно оформить в виде след. формул логики высказываний, формально выражающих законы М. для соотв. операций: (A⊃B) ⊃((С⊃D) ⊃ ((A/C) ⊃ (B/D))), (A⊃B) ⊃ ((C⊃D) ⊃((A&C) ⊃ (B&D))), (A⊃B) ⊃ (В⊃А)) и т.п. Последняя из выписанных формул выражает также контрапозиции закон. А вместо первых двух - для выражения законов М. обычно (учитывая коммутативность операций и транзитивность отношения A≤B и связанной с ним импликации) употребляют более простые формулы: (A⊃B) ⊃ ((A/C) ⊃ (B/C)) и (A⊃B) ⊃((A&C) ⊃ (B&C).

Аналогичные законы (выражаемые теми же формулами) имеют место также в конструктивной логике и в минимальной логике. Сходные законы имеются и для операций объединения и пересечения множеств: если AB, то ACBC и A∩CB∩C(, и ∩ являются соответственно знаками включения, объединения и пересечения). В предикатов исчислении имеются похожие законы для кванторов, выражаемые формулами ∀x (A(x) ⊃ B(x)) ⊃ (∀x A(x) ⊃ ∀x B(x)) и ∀x (A(x)⊃ B(x)) ⊃ (∃xA(x) ⊃ ∃xB(x)). Чтобы все эти и нек-рые др. законы можно было тоже рассматривать как законы М. и, используя их в рассуждениях аналогично обычным, исследовать общие законы таких рассуждений, производят обобщение понятий М. Один из вариантов обобщения состоит в том, что понятие М. распространяется на те случаи, когда вместо области действит. чисел с обычным в ней отношением а≤b берется любая область предметов с нек-рым отношением, квазиупорядочивающим последнюю, т.е. удовлетворяющим законам рефлексивности и транзитивности (см. Порядка отношение). Для вышеприведенных примеров это - область высказываний с отношением импликации (A⊃B) данной логики, или область множеств с отношением включения (AB), или область предикатов с отношением т.н. формальной импликации [∀x1 ∀x2... ∀xn(U⊃B), где x1, x2, ..., хn –список всех переменных, от к-рых зависит U или зависит B].

Дальнейшее обобщение, связанное с отказом от требований рефлексивности и транзитивности и рассмотрением не только двуместных отношений, приводит к общему понятию сохранения предиката.

Лит.: Τарский Α., Введение в логикуи методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.–Л., 1948; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Труды Математич. ин-та им. В. А. Стеклова, [т.] 51, М., 1958, с. 16–29, 77–137, 174–77; Ηовиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959; Математика в СССР за сорок лет (1917–1957), т. 1, М., 1959, с. 102–108; Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962.

А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.