МОНОТОННОСТЬ это:

МОНОТОННОСТЬ
МОНОТО́ННОСТЬ
(от греч. μονότονος – однотонный) – свойство нек-рых логических или математических операций (функций), состоящее, грубо говоря, в том, что направление возможного изменения результата операций зависит только от направления изменения того, над чем эта операция производится. Одним из наиболее известных примеров М. является след. свойство сложения действит. чисел: если α≤b, то а+с≤b+с; вообще, если а≤b и c≤d, то а+с≤b+d. Иначе говоря, при увеличении или неизменности слагаемых сумма т о ж е увеличивается или остается неизменной. Другим примером М. является то свойство функции f(x)=–x, что из а≤b следует f(a)≥f(b). Вообще, функция g(x), определенная на области всех или нек-рых действит. чисел и имеющая своими значениями тоже лишь действит. числа, наз. м о н о т о н н о й, если имеет место, по крайней мере, одно из двух: 1) для всяких a и b (из области определения функции) из а≤b следует g(a)≤g(b), 2) для всяких a и b из а≤b следует g(a)≥g(b). В первом случае функция g наз. возрастающей, или изотонной, а во втором случае – убывающей, или антитонной. Если функция g(x) и h(x) монотонны, то и функция g(h(x)) тоже монотонна. Для удобства обобщения этой теоремы на случай неск. переменных термин "М." часто (особенно в логике) употребляют в более узком смысле, относя его лишь к первому случаю. При этом М. функции g(x1, x2, ..., хn) (точнее, ее изотонность) определяется как след. свойство: для всяких а1, а2, ..., аn, b1, b2, ..., ..., bn из того, что а1≤b1, a2≤b2, ..., an≤bn, следует g(а1 а2, ..., аn) ≤g (b1, b2, ..., bn).
Благодаря обычному в алгебре логики отождествлению значения "истина" с числом 1, а значения "ложь" – с 0, понятие М. становится применимым к функциям алгебры логики. Напр., для всяких А, В, С и D (равных 0 или 1) из того, что А≤В и C≤D, следует A/C≤B/D. T. е. (неразделительная) дизъюнкция является изотонной функцией. Изотонными являются также конъюнкция, константы 0 и 1 (рассматриваемые как функции; напр., g0 (A)=0), а также все функции, представимые через конъюнкцию и дизъюнкцию (напр., медиана (А, В, С)=АВ/АС/ВС). Других изотонных функций алгебры логики не существует. Отрицание А оказывается убывающей функцией: из A≤B следует А≤В. Т. к. здесь отношение A≤B эквивалентно истинности материальной импликации A⊃B, то эти примеры М. можно оформить в виде след. формул логики высказываний, формально выражающих законы М. для соотв. операций: (A⊃B) ⊃((С⊃D) ⊃ ((A/C) ⊃ (B/D))), (A⊃B) ⊃ ((C⊃D) ⊃((A&C) ⊃ (B&D))), (A⊃B) ⊃ (В⊃А)) и т.п. Последняя из выписанных формул выражает также контрапозиции закон. А вместо первых двух - для выражения законов М. обычно (учитывая коммутативность операций и транзитивность отношения A≤B и связанной с ним импликации) употребляют более простые формулы: (A⊃B) ⊃ ((A/C) ⊃ (B/C)) и (A⊃B) ⊃((A&C) ⊃ (B&C).
Аналогичные законы (выражаемые теми же формулами) имеют место также в конструктивной логике и в минимальной логике. Сходные законы имеются и для операций объединения и пересечения множеств: если AB, то ACBC и A∩CB∩C(, и ∩ являются соответственно знаками включения, объединения и пересечения). В предикатов исчислении имеются похожие законы для кванторов, выражаемые формулами ∀x (A(x) ⊃ B(x)) ⊃ (∀x A(x) ⊃ ∀x B(x)) и ∀x (A(x)⊃ B(x)) ⊃ (∃xA(x) ⊃ ∃xB(x)). Чтобы все эти и нек-рые др. законы можно было тоже рассматривать как законы М. и, используя их в рассуждениях аналогично обычным, исследовать общие законы таких рассуждений, производят обобщение понятий М. Один из вариантов обобщения состоит в том, что понятие М. распространяется на те случаи, когда вместо области действит. чисел с обычным в ней отношением а≤b берется любая область предметов с нек-рым отношением, квазиупорядочивающим последнюю, т.е. удовлетворяющим законам рефлексивности и транзитивности (см. Порядка отношение). Для вышеприведенных примеров это - область высказываний с отношением импликации (A⊃B) данной логики, или область множеств с отношением включения (AB), или область предикатов с отношением т.н. формальной импликации [∀x1 ∀x2... ∀xn(U⊃B), где x1, x2, ..., хn –список всех переменных, от к-рых зависит U или зависит B].
Дальнейшее обобщение, связанное с отказом от требований рефлексивности и транзитивности и рассмотрением не только двуместных отношений, приводит к общему понятию сохранения предиката.
Лит.: Τарский Α., Введение в логикуи методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.–Л., 1948; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Труды Математич. ин-та им. В. А. Стеклова, [т.] 51, М., 1958, с. 16–29, 77–137, 174–77; Ηовиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959; Математика в СССР за сорок лет (1917–1957), т. 1, М., 1959, с. 102–108; Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962.
А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. . 1960—1970.


.

Синонимы:

Антонимы:

Смотреть что такое "МОНОТОННОСТЬ" в других словарях:

  • монотонность — однообразие, однообразность, одинаковость, однотонность, одноцветность; размеренность, усыпительность, однозвучность, нудность, одноликость. Ant. разнообразие, многоцветность, неоднородность Словарь русских синонимов. монотонность 1. однотонность …   Словарь синонимов

  • монотонность — и, ж. monotone adj. 1. Однообразие звука, тона, интонации; однозвучность. Монотонность голоса. БАС 1. Однообразие звуков и форм. 1846. КСИС. // Петрашевцы 165. 2. Отсутствие перемен, повторение одного и того же; однообразие. БАС 1. . Поэзия… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • МОНОТОННОСТЬ — свойство некоторых видов труда, требующих от человека длительного выполнения однообразных действий или непрерывной и устойчивой концентрации внимания в условиях дефицита сенсорных нагрузок. На многих предприятиях используются станки с ЧПУ и… …   Российская энциклопедия по охране труда

  • МОНОТОННОСТЬ — (греч., от monos один, и phone звук). Однообразие звуков. Недостаток модуляции при говоре и пении; вообще однообразие (в жизни, стиле и т. п.). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МОНОТОННОСТЬ греч., от …   Словарь иностранных слов русского языка

  • монотонность —     МОНОТОННОСТЬ, однозвучность, однотонность     МОНОТОННЫЙ, однозвучный, однотонный     МОНОТОННО, однозвучно, однотонно …   Словарь-тезаурус синонимов русской речи

  • монотонность — МОНОТОННЫЙ, ая, ое; онен, онна. Однообразный по тону, интонации. Монотонное пение. М. голос. Монотонная жизнь (перен.: лишённая разнообразия). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • МОНОТОННОСТЬ — (monotonicity) Свойство, обладая которым линии либо функции, либо никогда не убывают, либо никогда не возрастают. В частности, этот термин используется применительно к электоральной системе либо к системе пропорционального распределения. Это… …   Политология. Словарь.

  • Монотонность — ж. отвлеч. сущ. по прил. монотонный Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • монотонность — монотонность, монотонности, монотонности, монотонностей, монотонности, монотонностям, монотонность, монотонности, монотонностью, монотонностями, монотонности, монотонностях (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • Монотонность — Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Содержание 1 Определения 2… …   Википедия

Книги

  • Алгебра, Золотарева Н. Д., Попов Ю. А., Сазонов В. В., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.. Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена.… Подробнее  Купить за 330 руб
  • Высшая математика, Дорофеев С. Н.. В данном пособии в форме лекций изложены основные теоретические сведения, определения, факты и теоремы линейной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Теоретический… Подробнее  Купить за 150 руб
  • Исследование рациональных функций на монотонность и экстремумы, Гилев В.Г.. Монотонность функции - одна из важных ее характеристик. При исследовании функции надо уметь находить промежутки монотонности. В учебном пособии предлагается элементарный (без использования… Подробнее  Купить за 76 руб
Другие книги по запросу «МОНОТОННОСТЬ» >>

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»