ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА это:

ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА

понятие теории гармонических функций, возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитич. функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). Пусть D - ограниченное открытое множество евклидова пространства - граница - конечная действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функции f соответствует единственная гармония, функция на D, являющаяся для f обобщенным решением Дирихле задачи. Если считать точку фиксированной, то функционал Н f(x).определяет на компактном множестве Г положительную борелевскую меру к-рая и называется гармонической мерой в точке х. Для всякой непрерывной на Г функции f справедлива формула представления обобщенного решения задачи Дирихле


полученная Ш.-Ж. Валле Пуссеном [3] выметания методом. Более того, если Е- произвольное борелевское множество на Г, то Г. м. Множества Ев точке хравна значению в хобобщенного решения задачи Дирихле для характеристпч. функции , , множества Е.

Основные свойства Г. м: - гармонич. функция точки хна D;


если D - область и хвтя бы в одной точке хО D, то

В последнем случае Еназ. множеством нулевой Г. м. Если компактное множество имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной области D, , то есть то оно имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области то есть Кесть множество нулевой абсолютной Г. м. Множество Кимеет нулевую абсолютную Г. <м. тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую (гармоническую) емкость.

С точки зрения приложений к теории функций комплексного переменного особенно важное значение имеет зависимость Г. м. от области D, выражаемая гармонической меры, принципом, сущность к-рого состоит в том, что при отображениях области D, осуществляемых однозначными аналитич. функциями , хО D, Г. м. не убывает. В частности, при взаимно однозначном конформном отображении Г. м. не изменяется.

Явное вычисление Г. м. удается провести лишь для простейших областей D(прежде всего, для круга и шара, полуплоскости, полупространства; см. Пуассона интеграл). Поэтому важное значение имеют различные методы оценки (см. [4]-[7]) Г. м., базирующиеся в основном на расширения области принципе. В простейшей форме при n=2 он состоит в следующем: пусть конечносвязная область Dограничена конечным числом жордановых кривых - дуги, лежащие, на Г. Тогда, если область Dрасширяется каким-либо образом через дополнительную часть границы, то Г. м. может только увеличиться.

Лит.:[1] Carleman Т., "Ark. mat.", J921, Bd 15, № 10, p. 1-7; [2] Nevanlinna F., Nevanlinna R., "Acta Soc. scent, fennica", 1922, n. 50, № 5; [3] de la Vallee Poussin Ch.-J., "Ann. Inst. H. Poincarg", 1932, v. 2, p. 169-232; [4] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [5] Голувин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [6] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [7] Наlistе К., "Ark. mat.", 1965, Bd 6, № 1, p. 1-31. Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА" в других словарях:

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫМЕТАНИЯ МЕТОД — метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, развитый А. Пуанкаре (см. [1], [2], а также [4]) и состоящий в следующем. Пусть D ограниченная область евклидова пространства граница D. Пусть мера Дирака, сосредоточенная в точке ; ньютонов… …   Математическая энциклопедия

  • ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ АБСТРАКТНАЯ — теория потенциала на абстрактных топология, пространствах. П. т. а. возникла в сер. 20 в. из стремления охватить единым аксиоматич. методом широкое многообразие свойств различных потенциалов, применяемых при решении разнообразных задач теории… …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ ПРИНЦИП — при отображениях, осуществляемых однозначными аналитич. функциями, гармоническая мера не убывает. Если гармонич. мера граничного множества относительно области Dна плоскости комплексного переменного z, то одна из конкретных формулировок Г. м. п.… …   Математическая энциклопедия

  • ДВУХ КОНСТАНТ ТЕОРЕМА — пусть D конечносвязная жорданова область на плоскости комплексного переменного z, w(z) регулярная аналитич. функция в D, удовлетворяющая неравенству причем на нек рой дуге a. границы дD выполняется соотношение тогда в каждой точке z множества где …   Математическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера

  • Область определения функции — Область определения функции  множество, на котором задаётся функция. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Числовые функции …   Википедия

  • ГОСТ Р 54130-2010: Качество электрической энергии. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 54130 2010: Качество электрической энергии. Термины и определения оригинал документа: Amplitude die schnelle VergroRerung der Spannung 87 Определения термина из разных документов: Amplitude die schnelle VergroRerung der… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ЕМКОСТЬ — множества функция множества, возникшая в потенциала теории как аналог физич. понятия электростатич. емкости. Пусть Sи S* две гладкие замкнутые гиперповерхности в евклидовом пространстве Rn, причем S* о. ватывает S. Такую систему наз.… …   Математическая энциклопедия

  • МАРТИНА ГРАНИЦА — в теории потенциала идеальная граница Грина пространстваW (см. также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. представление положительных гар монич. функций на W. Пусть W локально компактное, но не компактное топологич.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»