ГАММА-ФУНКЦИЯ, это:

ГАММА-ФУНКЦИЯ,

Г-функция,- трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения


иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление ( эйлеров интеграл второго рода)


верное для . Многозначность функции устраняется формулой с действительным In х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

Если и то Г.-ф. может быть представлена интегралом Коши- Зальшюца:


На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, - 1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:


где причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой ; контур Сизображен на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что - мероморфная функция. В точках она имеет простые полюсы с вычетами !


Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:


или


если - целое, при этом считают .

2) Формула дополнения Эйлера:


В частности,


если n>0- целое, то

у - действительное.

3) Фор мула умножения Гаусса:


При m=2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При или имеет место асим-птотич. разложение вряд Стирлинга:


где - Бернулли числа. Из чего следует равенство


В частности


Более точной является формула Сонина [6]:


5) В действительной области для и принимает знак на участках (см. рис. 2). Для всех действительных хсправедливо неравенство т. е. все ветви как , так и - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения с точностью до постоянного множителя.


Для положительных хГ.-ф. имеет единственный минимум при х=1,4616321 ..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю.


6) В комплексной области, при , Г.-ф. быстро убывает при


7) Функция 1/Г (z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при


где


Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:


абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля:


где контур изображен на рис. 4.


Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным [7].

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся k-ми производными от . Функция ( -функция Гаусса)


мероморфна, имеет простые полюсы в точках z= 0, - 1, -2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению


Из представления при следует формула


где


эта формула полезна для вычисления в окрестности точки z=1.

О других полигамма-функциях см. [2]. Неполная гамма-функция определяется равенством


Функции суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций ( гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.:[1] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [3] Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [4] Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; [5] Nielsen N., Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; [6] Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954;

[7] Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62: [8] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. е нем., 2 изд., М., 1968; [9] Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер с франц., 2 изд., М., 1967. Л. <П. <Купцов


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАММА-ФУНКЦИЯ," в других словарях:

  • гамма-функция — гамма функция, гамма функции …   Орфографический словарь-справочник

  • ГАММА-ФУНКЦИЯ — Г функция, Г(x), одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала на случай любых значений x …   Большой Энциклопедический словарь

  • гамма-функция — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Гамма-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Гамма. Гамма функция математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается . Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма… …   Википедия

  • гамма-функция — Г функция, Г(х), одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала на случай любых значений х. * * * ГАММА ФУНКЦИЯ ГАММА ФУНКЦИЯ, Г функция, Г(x), одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала на случай… …   Энциклопедический словарь

  • гамма-функция — gama funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. gamma function vok. Gamma Funktion, f rus. гамма функция, f pranc. fonction gamma, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Гамма-функция —         [Г функция, Г (х)], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) = (n 1)! = 1·2... (n 1). Впервые введена Л. Эйлером в 1729. Г. ф. для действительных х > 0 определяется… …   Большая советская энциклопедия

  • ГАММА-ФУНКЦИЯ — Г функция, Г(х), одна из важнейших спец. функций, обобщающая понятие факториала на случай любых значений х …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ГАММА-ФУНКЦИЯ — Г(х) ф ция, обобщающая понятие факториала; для случая целого положит. х равна 1*2*3*...*(х 1)=(х 1)I=Г(х) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • гамма-функция — г амма ф ункция, и …   Русский орфографический словарь

Книги

  • Бесселевы функции., Кузьмин Р.О.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Книга Кузьмина Р.О., профессора Ленинградского гидротехнического института, является первой на… Подробнее  Купить за 1950 руб
  • Гамма-функция, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет… Подробнее  Купить за 1125 руб
  • Специальные функции и их приложения, Н. Н. Лебедев. Книга содержит систематическое изложение основ теории важнейших специальных функций и приложения этой теории к задачам математической физики и техники. Рассмотрены: гамма-функция, интеграл… Подробнее  Купить за 469 руб
Другие книги по запросу «ГАММА-ФУНКЦИЯ,» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»