ГАЛУА ТЕОРИЯ КОЛЕЦ это:

ГАЛУА ТЕОРИЯ КОЛЕЦ

- обобщение результатов теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с единицей. Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей, Н - некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольца А, N - подгруппа группы Н,


. Тогда - подкольцо кольца А. Пусть - подкольцо кольца А . Говорят, что автоморфизм hкольца Асоставляет кольцо поэлементно инвариантным, если для всех . Множество всех таких автоморфизмов обозначается . Пусть


Основной объект изучения Г. к. т.- соответствия:


В отличие от теории Галуа полей (даже в том случае, когда группа Нконечна) здесь не всегда выполняется равенство G(B1) = H(B1), а соответствия 1), 2) и 1), 3) не обязаны быть взаимно обратными. Поэтому представляет интерес выделение таких семейств подколец и семейств подгрупп, для к-рых справедлив аналог теоремы о соответствиях Галуа. В двух случаях эта задача получила удовлетворительное решение. Первый из них характеризуется требованием "близости" свойств кольца А к свойствам поля (напр., А - тело или полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом), второй - требованием "близости" строения кольца Анад подкольцом Вк строению соответствующей пары в случае, когда А - поле (напр., .В-модуль проективен).

Пусть с - обратимый элемент кольца Аи - автоморфизм кольца А, определяемый равенством

- подалгебра алгебры А, порожденная обратимыми элементами , для которых Группа Нназ. N - группой, если для всех обратимых . Если А - тело, В - его подтело, причем , А - конечномерное левое векторное пространство над В, то соответствия Галуа и являются обратными друг к другу где Нпринадлежит множеству всех N-подгрупп группы G(B),a D- множеству всех подтел тела Л, содержащих тело В.

Аналогичный результат справедлив и в том случае, когда А - полное кольцо линейных преобразований (однако соответствующая система условий, выделяющая семейства подгрупп и семейства подколец, формулируется несколько сложнее).

Пусть далее А - коммутативное кольцо без нетривиальных идемпотентов и . Кольцо Аназ. конечным нормальным расширением кольца В, если и А- конечно порожденный B-модуль. Кольцо Аможно рассматривать как -модуль, полагая


где . Кольцо Аназ. сепарабельной В-алгеброй, если А - проективный - модуль. Если А - конечное нормальное сепарабельное расширение кольца В, то А - конечно порожденный проективный fi-модуль, группа G(B).конечна и отображения , задают взаимно обратные соответствия между множеством всех подгрупп группы G(B).и множеством всех сепарабельных B-подалгебр алгебры А.

Всякое кольцо Вобладает сепарабельным замыканием, являющимся аналогом сепарабельного замыкания поля. Группа всех автоморфизмов этого замыкания, оставляющих кольцо Впоэлементно инвариантным, оказывается, в общем случае, проконечной группой. Соответствия 1) и 2) являются взаимно обратными на множестве всех замкнутых подгрупп полученной группы и на множестве всех сепарабельных В-подалгебр сепарабельного замыкания кольца В.

Аналогичные результаты справедливы и в том случае, когда кольцо Всодержит нетривиальные идемпо-тенты. При этом, однако, ряд основных понятий подвергается существенному изменению. Напр., роль группы Галуа G(B).играет фундаментальный группоид. Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Сhase S. U., Swed1еr М. Е., Hopf algebras and Galois theory, В.- Hdlb.- N. У., 1969; [3] De Меуеr F., Ingraham E., Separable algebras over commutative rings, В.- Hdlb.-N. Y., 1971; [4] Magid A. R., The separable Galois theory of commutative rings, N. Y., 1974.

К. И. Бейдар, А. В. Михалев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАЛУА ТЕОРИЯ КОЛЕЦ" в других словарях:

  • Галуа теория —         созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным, т. е. уравнений вида                   устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи др. алгебраических уравнений (обычно… …   Большая советская энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ГРУППА — группа автоморфизмов Галуа расширения L поля k, т. е. группа, состоящая из всех автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Г. г. обозначается или . Поле инвариантов совпадает с полем k. Если L поле разложения… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий объекты, в к рых, наряду с операциями сложения и умножения, имеются операции дифференцирования: дифференциальные кольца, дифференциальные модули, дифференциальные поля, дифференциальные алгебраич. многообразия. Один из… …   Математическая энциклопедия

  • Математика —          I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.          «Чистая …   Большая советская энциклопедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно …   Математическая энциклопедия

  • Алгебра —          Общие сведения          Алгебра один из больших разделов математики (См. Математика), принадлежащий наряду с арифметикой (См. Арифметика) и геометрией (См. Геометрия) к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А.,… …   Большая советская энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»