ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ это:

ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

с частными производными - дифференциальное уравнение с частными производными, тип к-рого вырождается в нек-рых точках области задания уравнения или на ее границе. Тип уравнения или системы уравнений в точке определяется одним или несколькими алгебраич. соотношениями между коэффициентами. Среди этих соотношений имеются, как правило, строгие неравенства. Если в нек-рых точках рассматриваемой области вместо строгих неравенств выполняются нестрогие, то говорят о вырождении типа, а уравнение (система уравнений) наз. вырождающимся, или вырожденным. Различают вырожденные эллиптические уравнения, вырожденные гиперболические уравнения, вырожденные параболические уравнения (системы уравнений) .

Примеры:


- вырожденное эллиптич. уравнение в полупространстве


- вырожденное гиперболич. уравнение во всей плоскости;


- вырожденное параболич. уравнение в области


- вырожденная эллиптич. система при

В. у. встречаются в теории пограничного слоя, в безмоментной теории оболочек, в теории диффузионных процессов, в частности в теории броуновского движения, и во многих других задачах механики и физики.

Исследования В. у. ведутся по двум тесно связанным между собой направлениям: 1) доказывается разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа; 2) устанавливаются свойства решений, аналогичные свойствам невырожденных уравнений (гладкость, неравенства Гарнака для эллиптич. и параболич. уравнений и т. п.).

Наиболее полно изучены В. у. 2-го порядка эллиптич. и параболич. типов (строго говоря, параболич. уравнение тоже можно считать вырожденным эллиптич. уравнением, удовлетворяющим дополнительным условиям). В случае, когда вырождение типа имеется не только на границе, но и во внутренних точках (напр., во всех точках рассматриваемой области), такие уравнения называют еще уравнениями с неотрицательной характеристической формой, эллиптикопараболическими уравнениями, ультрапараболическими уравнениями.

Особенностью В. у. является специфич. постановка краевых задач. Граничные условия иногда приходится задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Келдыш впервые обратил внимание на зависимость постановки краевой задачи от характера вырождения эллиптич. уравнения на границе. Для общего эллипти-копараболич. уравнения 2-го порядка


первая краевая задача ставится следующим образом. Пусть Г - граница рассматриваемой области - внутренняя нормаль к - та часть Г, где Требуется найти решение уравнения (*) в области Dтак, чтобы Были доказаны существование и единственность обобщенного решения этой задачи и указаны достаточные условия, при к-рых обобщенное решение будет гладким.

Так как частным случаем В. у. являются уравнения 1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эллиптич. уравнений, вообще говоря, не будут гладкими внутри области, если граничные условия недостаточно гладкие. Однако примеры показывают, что и при бесконечно дифференцируемых граничных условиях и коэффициентах В. у. его решения могут не быть бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипо-эллиптичности для общего вырожденного эллиптич. уравнения 2-го порядка.

Свойства решений вырожденных эллиптич. п параболич. уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью геометрич. методов, так и с помощью методов теории вероятностей.

Большинство исследований вырожденных гиперболич. уравнений относится к уравнениям 2-го порядка с двумя независимыми переменными, вырождающимся на границе области. Эти работы стимулировались прежде всего изучением уравнений смешанного типа и связанных с ними задач газовой динамики. Для иллюстрации возникающих здесь вопросов рассмотрим задачу Коши для уравнения с главной частью . При эта задача имеет единственное решение, а при задача Коши, вообще говоря, некорректна. Для уравнения с главной частью задача Коши с данными на линии вырождения поставлена корректно при . Если , то так же, как и для эллиптич. уравнения, постановка задачи, вообще говоря, видоизменяется. Вместо задается нек-рая положительная функция, зависящая от коэффициентов уравнения.

Для гиперболич. уравнения с большим числом пространственных переменных


вырождающегося как на начальной плоскости t=0, так и внутри области, доказана корректность задачи Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее существенным из этих условий является выполнение неравенства


где и - нек-рые положительные постоянные.

Ряд результатов для линейных В. у. переносится и на квазилинейные уравнения.

Лит.:[1] Олейник О. А., Радкевич Е. В., Итоги науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7-252; [2] Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., 1966. А. М. Ильин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными где действительная функция удовлетворяет условиям: для всех действительных и существует , при к ром в соотношении (2) достигается равенство. Здесь: хесть n мерный вектор ; искомая …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными где функция удовлетворяет условию: корни многочлена действительны при всех действительных и существуют при к рых либо нек рые корни совпадают, либо коэффициент при обращается в нуль. Здесь: t… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными где функция обладает свойством: для нек рого четного натурального числа все корни многочлена имеют неположительные действительные части для всех действительных , причем при нек рых и для к. л.… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — конфлюэнтное уравнение линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведенной формой уравнения (1) является… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — линейное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром. Общий вид В. и. у.: Интегрирование производят по области D(вообще n мерного) евклидова пространства, точки из действительный или комплексный параметр, а функции, входящие в (1),… …   Математическая энциклопедия

  • СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — дифференцированное уравнение с частными производными, к рое в области задания принадлежит различным типам (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Линейное (или квазилинейное) дифференциальное уравнение 2 го порядка с двумя… …   Математическая энциклопедия

  • ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение Гаусса, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма… …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма 2 го рода, сводящиеся к выполнению конечного числа действий над числами. Пусть интегральное уравнение Фредгольма 2 го рода, где комплексное число, f(х)… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ — интегральное уравнение (и. у.) с симметричным действительным ядром: К( х, s) = K(s, x). Теория линейных и. у. с симметричным и действительным ядром была впервые построена Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1904) привлечением теории симметричных… …   Математическая энциклопедия

  • СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия). Краевая задача для гиперболич.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»