ВИТТА РАЗЛОЖЕНИЕ это:

ВИТТА РАЗЛОЖЕНИЕ

векторного пространства - разложение пространства в прямую сумму трех подпространств, обладающих определенными свойствами. Точнее, пусть V - векторное пространство над полем kхарактеристики, отличной от двух, наделенное метрич. структурой с помощью симметрической или знакопеременной билинейной формы f. Прямое разложение


наз. В. р. пространства , если и вполне изотропны, a Dнеизотропно и ортогонально относительно f. В. р. играет важную роль в изучении структуры формы f и в вопросах классификации билинейных форм.

Пусть f - невырожденная билинейная форма и V - конечномерно. Тогда любое максимальное вполне изотропное подпространство в Vможет быть включено в В. р. пространства Vв качестве (или ). Для всякого В. р. и для любого базиса существует такой базис в , что ( dij- символы Кронекера). Для любых двух В. р.


условие необходимо и достаточно для того, чтобы существовал такой метрич. автоморфизм пространства V, что


Невырожденная билинейная симметрическая или знакопеременная форма f на Vназ. нейтральной, если Vконечномерно и обладает В. р. с D= 0. Симметрическая форма в этом случае наз. гиперболической формой, а V - гиперболическим пространством. Ортогональная прямая сумма нейтральных форм нейтральна. Матрица нейтральной формы (в описанном выше базисе пространства ) имеет вид


где - единичная матрица порядка , а =1 для симметрической формы и - 1 для знакопеременной. Нейтральные формы изометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. Класс нейтральных симметрических билинейных форм является нулем (т. е. нейтральным элементом по сложению) в Витта кольце поля k. Нейтральные формы и только они имеют индекс Витта, равный . Знакопеременная форма на конечномерном пространстве нейтральна.

Если f - невырожденная симметрическая билинейная форма на конечномерном пространстве и -В. р., в котором и равно индексу Витта формы f, то сужение f на Dявляется определённой, или анизотропной, билинейной формой, т. е. такой, что для любого ненулевого . Эта форма не зависит (с точностью до изометрии) от выбора В. р. на V. В множестве определенных билинейных форм можно ввести операцию сложения, превращающую его в абелеву группу - группу Витта поля k(см. Витта кольцо).

Пусть - такие базисы в что объединяя эти базисы с произвольным базисом в D, получают базис в V, в к-ром матрица формы f имеет вид


Для симметрических билинейных форм существует ортогональный базис в V, т. е. такой, в к-ром матрица формы диагональна. Если поле kалгебраически замкнуто, то найдется даже ортонормировании и базис (базис, в к-ром матрица формы является единичной), поэтому невырожденные симметрические билинейные формы конечного ранга над kизометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. В общем случае классификация таких форм существенно зависит от арифметич. свойств поля k.

Изучение и классификация вырожденных симметрических и знакопеременных билинейных форм сводится к изучению невырожденных форм (сужение формы на подпространство, дополнительное к ядру формы).

Все изложенное допускает обобщение на случай е-эрмитовых форм над телом, обладающих свойством (Т).(см. Витта теорема), а также на случай симметрических билинейных форм, ассоциированных с квадратичной формой, без ограничений на характеристику поля.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Ар тин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [4] Дьедонце Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974. В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВИТТА РАЗЛОЖЕНИЕ" в других словарях:

  • ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… …   Математическая энциклопедия

  • ВИТТА ТЕОРЕМА — всякая изометрня между двумя подпространствами F1 и F2 конечномерного векторного пространства V, определенного над полем kхарактеристики, отличной от двух, и наделенного метрич. структурой с помощью невырожденной симметрической или… …   Математическая энциклопедия

  • ЭРМИТОВА ФОРМА — на левом R модуле . отображение линейное по первому аргументу и удовлетворяющее условию При этом Л кольцо с единицей, снабженное инволютным антиавтоморфизмом J. В частности, является полуторалинейной формой на X. Сам модуль Xпри этом наз.… …   Математическая энциклопедия

  • БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — на произведении модулей билинейное отображение левый унитарный модуль, W правый унитарный А модуль, А кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А ) бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен… …   Математическая энциклопедия

  • КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — антисимметрическая билинейная форма, билинейная форма f на унитарном А модуле V(где А коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью …   Математическая энциклопедия

  • МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР — 1) М. т. линейной алгебраической группы G алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с… …   Математическая энциклопедия

  • ДИКСОНА ИНВАРИАНТ — конструкция, используемая при изучении квадратичных форм над полями характеристики 2, позволяющая, в частности, вводить аналоги специальной ортогональной группы над такими полями. А именно, Д. и. есть элемент D(u)произвольного поля… …   Математическая энциклопедия

  • НИДЕРЛАНДЫ — (Nederland) гос во в Зап. Европе; часто именуется Голландией (по названию сев. зап. части Н., состоящей из провинций Сев. Голландия и Юж. Голландия). На С. и З. омывается Северным м.; на В. граничит с ФРГ, на Ю. с Бельгией. Площ. 33,6 тыс. км2 (с …   Советская историческая энциклопедия

  • Нитроглицерин* — Глицерин C3H5 (НО) 3, при действии азотной кислоты или смеси азотной и серной кислот, может образовать азотно кислые эфиры: С 3H5 (HО) 2(NO3), С 3H5 (HО)(NO 3)2 и С 3H5 (NО 3)3. Из них в настоящее время известны только два одноазотный и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Нитроглицерин — I Глицерин C3H5(НО)3, при действии азотной кислоты или смеси азотной и серной кислот, может образовать азотно кислые эфиры: С3H5(HO)2(NO3), С3H5(HO)(NO3)2 и С3H5(NO3)3. Из них в настоящее время известны только два одноазотный и трехазотный.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»