ВИТТА КОЛЬЦО это:

ВИТТА КОЛЬЦО

поля k, кольцо типов квадратичных форм над k,- кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для некоторых нейтральных квадратичных форм g1 и g2 ортогональная прямая сумма форм f1 и g1 изометрична ортогональной прямой сумме f2 и g2. Операции сложения и умножения в индуцируются взятием ортогональной прямой суммы и тензорного произведения форм.

Пусть характеристика поля kотлична от 2. Тогда определение эквивалентности форм равносильно следующему: тогда и только тогда, когда анизотропные формы соответствующие (см. Витта разложение), изометричны. Класс эквивалентности формы f наз. ее типом и обозначается [f]. В. к., или кольцо типов квадратичных форм, есть ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Единицей кольца является тип формы (1). [Здесь через (a1, ..., an) обозначается квадратичная форма Нулем служит тип нулевой формы ранга нуль, содержащий также все нейтральные формы. Противоположным к тжшу является тип .

Аддитивная группа кольца W(k).наз. группой Витта поля k, или группой типов квадратичных форм над k. Типы квадратичных форм вида (а), где а - элемент мультипликативной группы поля k, порождают кольцо . Причем полностью определяется в этих образующих соотношениями:


В. к. можно описать как кольцо, изоморфное фактор-кольцу целочисленного группового кольца


группы по идеалу, порожденному элементами


где - смежный класс элемента хпо подгруппе

В ряде случаев В. к. вычисляется явно: напр., если k - квадратично (в частности, алгебраически) замкнутое поле, то если k - вещественно замкнутое поле, то (изоморфизм осуществляется сопоставлением типу [f] сигнатуры формы f); если k - пифагорово поле (т. е. сумма любых двух квадратов в kявляется квадратом) и не вещественно, то если k - конечное поле, то кольцо W(k).изоморфно либо кольцу вычетов , либо если k - полное локальное поле и его поле классов имеет характеристику, отличную от 2, то


Расширение поля определяет гомоморфизм колец Витта при котором . Если расширение конечно и имеет нечетную степень, то - мономорфизм, а если, кроме того, оно является Галуа расширением с группой G, то действие группы Gпродолжается на W(k).и


Общие свойства В. к. описываются теоремой Пфистера:

1) для любого поля kпериодическая подгруппа группы 2-примарна;

2) если k - вещественное поле, а - его пифагорово замыкание (т. е. наименьшее пифагорово поле, содержащее k), то точна последовательность


(при этом, если Wt(k)=0, то поле k- пифагорово);

3) если {ka} - семейство всех вещественных замыканий поля k, то точна последовательность


в частности,

4) если k - не вещественное поле, то группа периодическая.

Ряд других результатов относится к мультипликативной теории форм. В частности, пусть т - множество типов квадратичных форм на четномерных пространствах. Тогда тявляется двусторонним идеалом в W(k).и идеал от содержит все делители нуля кольца множество нильпотентных элементов кольца совпадает с множеством элементов конечного порядка идеала тп является радикалом Джекоб-сона и первичным радикалом кольца . Кольцо конечно тогда и только тогда, когда поле kне вещественно, а группа конечна; кольцо нетерово тогда и только тогда, когда группа конечна. Если k - не вещественное поле, то тявляется единственным простым идеалом кольца . Если же k - вещественное поле, то множество простых идеалов кольца является дизъюнктным объединением идеала ти семейств простых идеалов, соответствующих упорядочениям рполя k:


где lпробегает множество простых чисел, а означает знак элемента а i при упорядочении р.

Если k - кольцо с инволюцией, то конструкция, аналогичная конструкции В. к., приводит к понятию группы Витта кольца с инволюцией.

С более широкой точки зрения кольцо (группа) Витта является одним из первых примеров K-функторов (см. Алгебраическая К-теория), которые играют важную роль в унитарной алгебраической K-теории.

Лит.:[1] Witt Е., "J. reine u. angew. Math.", 1936, Bd 176, S. 31-44; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Ленг С., Алгебра, пер. сангл.,М., 1968; [4] Lorenz F., Quadratische Formen uber Korpern, В. [u. a.], 1970; [5] O' Meara О. Т., Introduction to quadratic forms, В.-Gott.- Hdlb., 1963; [6] Lam T. Y., The algebraic theory of quadratic forms, Massachusets, 1973; [7] Mi1nоr J., Husemоller D., Symmetric bilinear forms, B. [u. a.], 1973. А. В. Михалев, A. ft. Немытое.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВИТТА КОЛЬЦО" в других словарях:

  • ВИТТА РАЗЛОЖЕНИЕ — векторного пространства разложение пространства в прямую сумму трех подпространств, обладающих определенными свойствами. Точнее, пусть V векторное пространство над полем kхарактеристики, отличной от двух, наделенное метрич. структурой с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • ВИТТА ТЕОРЕМА — всякая изометрня между двумя подпространствами F1 и F2 конечномерного векторного пространства V, определенного над полем kхарактеристики, отличной от двух, и наделенного метрич. структурой с помощью невырожденной симметрической или… …   Математическая энциклопедия

  • ВИТТА ВЕКТОР — элемент алгебраич. конструкции, впервые предложенной Э. Впттом в 1936 [1] в связи с описанием неразветвленных расширений полей р адических чисел. Позже В. в. были применены при изучении алгебраических многообразий над полем положительной… …   Математическая энциклопедия

  • ЭРМИТОВА ФОРМА — на левом R модуле . отображение линейное по первому аргументу и удовлетворяющее условию При этом Л кольцо с единицей, снабженное инволютным антиавтоморфизмом J. В частности, является полуторалинейной формой на X. Сам модуль Xпри этом наз.… …   Математическая энциклопедия

  • БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — на произведении модулей билинейное отображение левый унитарный модуль, W правый унитарный А модуль, А кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А ) бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен… …   Математическая энциклопедия

  • ГРОТЕНДИКА ГРУППА — аддитивной категории абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С малая аддитивная категория и G абелева группа. Отображение наз. аддитивным, если для любой точной последовательности… …   Математическая энциклопедия

  • p-АДИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования (см. Абсолютное значение).… …   Математическая энциклопедия

  • История Каменца-Подольского — Герб Каменца Подольского Основная статья: Каменец Подольский Каменец Подольский (укр. Кам янець Подільський)  один из древнейших …   Википедия

  • КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — антисимметрическая билинейная форма, билинейная форма f на унитарном А модуле V(где А коммутативное кольцо с единицей), удовлетворяющая условию: Строение любой К. б. ф. f на конечномерном векторном пространстве Vнад полем характеристики полностью …   Математическая энциклопедия

  • ДЕФОРМАЦИЯ — 1) Д. аналитической структуры семейство аналитич. ространств (или связанных с ними аналитич. объектов), зависящее от параметров. Теория Д. возникла из задачи классификации всевозможных попарно не изоморфных комплексных структур на данном… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»