ВИТТА КОЛЬЦО

поля k, кольцо типов квадратичных форм над k,- кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f₁ эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для некоторых нейтральных квадратичных форм g₁ и g₂ ортогональная прямая сумма форм f₁ и g₁ изометрична ортогональной прямой сумме f₂ и g₂. Операции сложения и умножения в индуцируются взятием ортогональной прямой суммы и тензорного произведения форм.

Пусть характеристика поля kотлична от 2. Тогда определение эквивалентности форм равносильно следующему: тогда и только тогда, когда анизотропные формы соответствующие (см. Витта разложение), изометричны. Класс эквивалентности формы f наз. ее типом и обозначается [f]. В. к., или кольцо типов квадратичных форм, есть ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Единицей кольца является тип формы (1). [Здесь через (a₁, ..., a_n) обозначается квадратичная форма Нулем служит тип нулевой формы ранга нуль, содержащий также все нейтральные формы. Противоположным к тжшу является тип .

Аддитивная группа кольца W(k).наз. группой Витта поля k, или группой типов квадратичных форм над k. Типы квадратичных форм вида (а), где а - элемент мультипликативной группы поля k, порождают кольцо . Причем полностью определяется в этих образующих соотношениями:

В. к. можно описать как кольцо, изоморфное фактор-кольцу целочисленного группового кольца

группы по идеалу, порожденному элементами

где - смежный класс элемента хпо подгруппе

В ряде случаев В. к. вычисляется явно: напр., если k - квадратично (в частности, алгебраически) замкнутое поле, то если k - вещественно замкнутое поле, то (изоморфизм осуществляется сопоставлением типу [f] сигнатуры формы f); если k - пифагорово поле (т. е. сумма любых двух квадратов в kявляется квадратом) и не вещественно, то если k - конечное поле, то кольцо W(k).изоморфно либо кольцу вычетов , либо если k - полное локальное поле и его поле классов имеет характеристику, отличную от 2, то

Расширение поля определяет гомоморфизм колец Витта при котором . Если расширение конечно и имеет нечетную степень, то - мономорфизм, а если, кроме того, оно является Галуа расширением с группой G, то действие группы Gпродолжается на W(k).и

Общие свойства В. к. описываются теоремой Пфистера:

1) для любого поля kпериодическая подгруппа группы 2-примарна;

2) если k - вещественное поле, а - его пифагорово замыкание (т. е. наименьшее пифагорово поле, содержащее k), то точна последовательность

(при этом, если W_t(k)=0, то поле k- пифагорово);

3) если {k_a} - семейство всех вещественных замыканий поля k, то точна последовательность

в частности,

4) если k - не вещественное поле, то группа периодическая.

Ряд других результатов относится к мультипликативной теории форм. В частности, пусть т - множество типов квадратичных форм на четномерных пространствах. Тогда тявляется двусторонним идеалом в W(k).и идеал от содержит все делители нуля кольца множество нильпотентных элементов кольца совпадает с множеством элементов конечного порядка идеала тп является радикалом Джекоб-сона и первичным радикалом кольца . Кольцо конечно тогда и только тогда, когда поле kне вещественно, а группа конечна; кольцо нетерово тогда и только тогда, когда группа конечна. Если k - не вещественное поле, то тявляется единственным простым идеалом кольца . Если же k - вещественное поле, то множество простых идеалов кольца является дизъюнктным объединением идеала ти семейств простых идеалов, соответствующих упорядочениям рполя k:

где lпробегает множество простых чисел, а означает знак элемента а _i при упорядочении р.

Если k - кольцо с инволюцией, то конструкция, аналогичная конструкции В. к., приводит к понятию группы Витта кольца с инволюцией.

С более широкой точки зрения кольцо (группа) Витта является одним из первых примеров K-функторов (см. Алгебраическая К-теория), которые играют важную роль в унитарной алгебраической K-теории.

Лит.:[1] Witt Е., "J. reine u. angew. Math.", 1936, Bd 176, S. 31-44; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Ленг С., Алгебра, пер. сангл.,М., 1968; [4] Lorenz F., Quadratische Formen uber Korpern, В. [u. a.], 1970; [5] O' Meara О. Т., Introduction to quadratic forms, В.-Gott.- Hdlb., 1963; [6] Lam T. Y., The algebraic theory of quadratic forms, Massachusets, 1973; [7] Mi1nоr J., Husemоller D., Symmetric bilinear forms, B. [u. a.], 1973. А. В. Михалев, A. ft. Немытое.