АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ это:

АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ

одна из ветвей современной алгебры. Главная задача А. т. и.- представление любого идеала кольца (или другой алгебраич. системы) в виде пересечения конечного числа идеалов специального вида (примерных, терциарных, при-мальных, одночастных и др.). При этом вид представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала существует нужное представление, или, что то же, справедлива нек-рая теорема "существования"; 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется нек-рая теорема "единственности". Начало А. т. и. было положено в 20-30-х гг. 20 в. работами Э. Нётер [1] и В. Крулля [2].

Все особенности А. т. и. отчетливо проявляются в случае колец. Пусть - нётерово кольцо, т. е. - ассоциативное кольцо с условием максимальности для идеалов. Если А - идеал в R, то существует наибольший идеал Nкольца R, обладающий свойством: для нек-рого натурального Этот идеал наз. примерным радикалом идеала А(в кольце R).и обозначается через Идеал кольца наз. примарным, если для любых двух идеалов А, В в Rвыполняется условие:


Для примарных идеалов верна теорема пересечения: пересечение любых двух примарных идеалов с одним и тем же примарным радикалом Рсамо есть при-марный идеал с тем же радикалом Р. С помощью этой теоремы доказывается теорема существования: если кольцо Rкоммутативно, то для любого идеала существует такое представление идеала Ав виде пересечения конечного числа примарных идеалов


что ни один из идеалов А i не содержит пересечения остальных, и примарные радикалы попарно различны. Такие представления наз. несократимым и, или примарно редуцированными (см. [1], [4]). Для этих представлений верна теорема единственности: если (1) и


- два примарно редуцированных представления идеала при надлежащей перенумеровке идеалов Bi

Именно А. т. и. нётеровых коммутативных колец (классич. А. т. и.) нашла многочисленные применения в различных разделах математики.

Если кольцо Rнекоммутативно, то теорема "существования", указанная выше, перестает быть верной, в то время как теоремы "единственности" и "пересечения" верны. Этот факт начиная с 30-х гг. 20 в. привел к поискам такого обобщения классич. примарности на некоммутативный случай, при к-ром оставалась бы справедливой и теорема "существования". Было найдено нужное обобщение (см. [4]) - терциарность (см. Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при нек-рых естественных ограничениях терциарность является единственным "хорошим" обобщением понятия примарности (см. [6], [7], [8]).

В 60-е гг. 20 в. А. т. и. развивалась в рамках теорий решеток, систем с частными и мультипликативных систем (см. [4], [5], [6]), что дало толчок развитию, напр., А. т. и. неассоциативных колец, нормальных делителей группы и подмодулей модуля.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ" в других словарях:

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия

  • ТЕРЦИАРНЫЙ ИДЕАЛ — идеал I кольца R, к рый нельзя представить в виде пересечения строго больших чем I правого частного r(I, А )и идеала В. Все неприводимые идеалы терциарны. В нётеровых кольцах терциарность совпадает с примарностью (см. Аддитивная теория идеалов,… …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… …   Математическая энциклопедия

  • АБЕЛЕВА ГРУППА — разрешимости алгебраич. уравнений в радикалах. Обычно для обозначения операции в А. г. используется аддитивная запись, т. е. знак + для самой операции, наз. сложением, знак 0 для нейтрального элемента, наз. нулем (в мультипликативной записи он… …   Математическая энциклопедия

  • АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств …   Математическая энциклопедия

  • ВИТТА КОЛЬЦО — поля k, кольцо типов квадратичных форм над k, кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для… …   Математическая энциклопедия

  • Простое кольцо (алгебра) — Содержание 1 Определение 2 Примеры и теоремы 3 Теорема Веддербёрна Артина …   Википедия

  • АДЕЛЬ — элемент группы аделей, т. е. топологич. прямого произведения групп с отмеченными открытыми подгруппами Здесь линейная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем множество всех неэквивалентных нормировании поля пополнение… …   Математическая энциклопедия

  • Полная группа — ― группа, в которой для любого элемента и любого целого числа разрешимо уравнение Абелева полная группа называется также делимой группой. Примеры Аддитивная группа всех рациональных чисел, Квазициклическая группа, то есть группа всех комплексных… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»