ВЕЛИЧИНА это:

ВЕЛИЧИНА

- одно из основных математич. понятий, смысл к-рого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

I. Еще в "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) были отчетливо сформулированы свойства В., наз. теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие В. является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы и т. н. Каждый конкретный род В. связан с определенным способом сравнения физич. тел или др. объектов. Напр., в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, н это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объему.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В. (т. е. в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объемов) устанавливается отношение неравенства: две В. одного и того же рода или совпадают , или первая меньше второй , или вторая меньше первой . Общеизвестно также в случае длин, площадей, объемов и то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В. отношение и операция обладают следующими свойствами:

1) каковы бы ни были ; имеет место одно и только одно из трех соотношений: или , или , или ;

2) если (транзитивность отношений "меньше", "больше");

3) для любых двух В. а и 6 существует однозначно определенная В.

4) (коммутативность сложения);

5) (ассоциативность сложения);

6) (монотонность сложения);

7) если , то существует одна и только одна В. с, для к-рой (возможность вычитания);

8) каковы бы ни были В. а и натуральное число n, существует такая В, b, что (возможность деления);

9) каковы бы ни были В. <а и b, существует такое натуральное число п, что . Это свойство наз-. аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. В нем вместе с более элементарными свойствами 1) - 8) основана теория измерения В., развитая древнегреческими математиками.

Если взять к.-л. длину lза единичную, то система всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет требованиям 1) - 9). Существование несоизмеримых отрезков (открытие к-рых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s' еще не охватывает системы s всех вообще длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию В., к требованиям 1) - 9) надо присоединить еще ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, напр.:

10) если последовательности величин обладают тем свойством, что для любой В. спри достаточно большом номере п, то существует единственная В. х, к-рая больше всех а п и меньше всех b п .

Свойства 1) - 10) и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных В. Если в такой системе выбрать к.-л. В. lза единицу измерения, то все остальные В. системы однозначно представляются в виде где а - положительное действительное число.

II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и т. п. В. естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной В., к-рое является основным в механике и физике. Система скалярных В. в этом понимании включает в себя, кроме положительной, В., нуль и отрицательную В. Выбирая в такой системе к.-л. положительную величину lза единицу измерения, выражают все остальные В. системы в виде , где - действительное число, положительное, отрицательное или равно нулю. Конечно, систему скалярных В. в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить требования 1) - 10), к-рыми выше охарактеризовано понятие положительной скалярной В.

III. В более общем смысле слова величинами называются векторы, тензоры, и др. "нескалярные величины". Такие В. можно складывать, но отношение неравенства для них теряет смысл.

IV. В нек-рых более отвлеченных математнч. исследованиях играют известную роль "неархимедовы" В., к-рые имеют с обычными скалярными В. то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9) не выполняется (для скалярных В. в смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что


V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1) -10), а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных В. Если какая-либо конкретная В., напр, длина lнагреваемого металлич. стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее ее число (при постоянной единице измерения l0 ). Само это меняющееся во времени число хпринято называть переменной В. и говорить, что хпринимает в какие-либо последовательные моменты времени "числовые значения" В традиционной математич. терминологии говорить о "переменных числах" не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как п длины, объемы и т. п., являются частными случаями В. и, как всякие В., могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно п рассмотрение переменных векторов, тензоров п т. п. А. Н. Колмогоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "ВЕЛИЧИНА" в других словарях:

  • величина — сущ., ж., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? величины, чему? величине, (вижу) что? величину, чем? величиной, о чём? о величине; мн. что? величины, (нет) чего? величин, чему? величинам, (вижу) что? величины, чем? величинами, о чём? о… …   Толковый словарь Дмитриева

  • ВЕЛИЧИНА — ВЕЛИЧИНА, величины, мн. величины, величинам (книжн.), и (разг.) величины, величинам, жен. 1. только ед. Размер, объем, протяжение вещи. Величина стола достаточная. Комната громадной величины. 2. Всё, что можно измерить и исчислить (мат. физ.).… …   Толковый словарь Ушакова

  • величина — Размер, формат, калибр, доза, рост, объем, протяжение. Ср …   Словарь синонимов

  • величина — ы; мн. чины; ж. 1. только ед. Размер (объём, площадь, протяжённость и т.п.) какого л. объекта, предмета, имеющего видимые физические границы. В. здания. В. стадиона. Величиной с булавку. Величиной в ладонь. Отверстие большей величины. В… …   Энциклопедический словарь

  • величина — ВЕЛИЧИНА1, ы, ж Разг. О человеке, выделяющемся среди других, выдающемся в какой л. области деятельности. Н. Коляда крупная величина в современной драматургии. ВЕЛИЧИНА2, ы, мн величины, ж Размер (объем, протяженность, площадь) предмета, который… …   Толковый словарь русских существительных

  • ВЕЛИЧИНА — ВЕЛИЧИНА, обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т.д. Выбор одной из величин данного рода (единицы измерения) позволяет сравнивать (соизмерять) величины. Развитие понятия величина привело к скалярным величинам, характеризующимся… …   Современная энциклопедия

  • ВЕЛИЧИНА — ВЕЛИЧИНА, ы, мн. ины, ин, жен. 1. Размер, объём, протяжённость предмета. Площадь большой величины. Измерить величину чего н. 2. То, что можно измерить, исчислить. Равные величины. 3. О человеке, выдающемся в какой н. области деятельности. Этот… …   Толковый словарь Ожегова

  • величина —     ВЕЛИЧИНА, размер, размеры …   Словарь-тезаурус синонимов русской речи

  • Величина — ВЕЛИЧИНА, обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т.д. Выбор одной из величин данного рода (единицы измерения) позволяет сравнивать (соизмерять) величины. Развитие понятия величина привело к скалярным величинам, характеризующимся… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ВЕЛИЧИНА — в математике 1) обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т. п. Выбрав одну из величин данного рода за единицу измерения, можно выразить числом отношение любой другой величины того же рода к единице измерения.2) В более общем смысле… …   Большой Энциклопедический словарь

  • величина́ — величина, ы; мн. величины, ин …   Русское словесное ударение

Книги

Другие книги по запросу «ВЕЛИЧИНА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»