ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ это:

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля.

Одним из основных понятий В. а. для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля в точке Мможет быть представлено в виде:

где - вектор, соединяющий точку , - расстояние между точками , а -линейная форма относительно вектора . Линейная форма единственным образом может быть представлена в следующем виде:

где - не зависящий от (т. е. выбора точки М') вектор. Вектор наз. градиентом скалярного поля и обозначается символом В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области, является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня скалярного поля ис производной по направлению связан соотношением:


Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле наз. дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т . е. приращение поля в точке Мединственным образом может быть представлено в виде:


где - линейный оператор, не зависящий от (от выбора точки ). Дивергенцией div авекторного поля наз. следующий скалярный инвариант линейного оператора :

(*)

где - взаимные базисы (- символ Кронекера). Если - поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то в точке Мозначает интенсивность источника () или стока (), находящихся в точке М, или отсутствие их ().

Вихрем (ротором) векторного поля наз. следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*):


где - взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля.

Для векторных и скалярных полей класса возможны повторные операции, напр.:


где - оператор Лапласа.

Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основными дифференциальными операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных операций В. а. и записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция.

В терминах основных операций В. а. могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L - кусочно гладкая.

Пусть S - ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей . Тогда справедлива Стокса формула:


причем нормальный к Sвектор n и касательный к dS вектор должны определять согласованные ориентации поверхности и края . Интеграл наз. циркуляцией векторного поля по кривой . Если циркуляция векторного поля по любой замкнутой кусочно гладкой кривой, расположенной в нек-рой области, равна нулю, то векторное поле наз. потенциальным в этой области. В односвязной области векторное поле потенциальное, если Для потенциального векторного поля существует так наз. скалярный потенциал - функция такая, что при этом


где точки - кусочно гладкая кривая, - единичный вектор касательной к - дифференциал дуги.

Пусть векторное поле непрерывно и дифференцируемо в конечной связной области V с кусочно гладкой границей , тогда справедлива Остроградского формула:


где - вектор внешней нормали к .

Интеграл наз. потоком векторного поля через поверхность . Если поток векторного поля через любую замкнутую кусочно гладкую несамо-пересекающуюся ориентированную поверхность, расположенную в V т представляющую собой границу яек-рой ограниченной подобласти области V, равен нулю, то векторное поле наз. соленондальным в области V. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках V. Для соленоидального векторного поля существует так наз. векторный потенциал - функция (М).такая, что


Если дивергенция и вихрь векторного поля определены в каждой точке Мобласти D, то всюду в Dвекторное поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей (теорема Гельмгольца):


Векторные поля, для к-рых , , наз. гармоническими. Потенциал гармонич. поля удовлетворяет уравнению Лапласа. Скалярное поле также наз. гармоническим.

Лит. см. при статье Векторное исчисление. А. Б. Иванов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ" в других словарях:

  • ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, изучение математических свойств ВЕКТОРОВ. Результат сложения двух векторов диагональ параллелограмма, сторонами которого служат первоначальные векторы, выходящие из одной точки. Умножение вектора на СКАЛЯР а дает вектор с тем же …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях. Содержание 1 Сфера применения 2 Векторные операторы …   Википедия

  • векторный анализ — vektorinė analizė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. vector analysis vok. Vektoranalyse, f rus. векторный анализ, m pranc. analyse vectorielle, f …   Automatikos terminų žodynas

  • векторный анализ — vektorinė analizė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector analysis vok. Vektoranalyse, f rus. векторный анализ, m pranc. analyse vectorielle, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Векторный потенциал — У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал. Эта статья  о математическом термине. О физическом см. векторный потенциал электромагнитного поля. В векторном анализе векторный потенциал  это векторное поле,… …   Википедия

  • Анализ функций многих переменных — Эта статья или раздел  грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь …   Википедия

  • Векторный подход к психотерапии (vector approach to psychotherapy) — В. п. п. постулирует, что все многообразие терапий по существу распределяется по 6 осн. векторам, или модальностям, указывающим направление роста. Выбирая один из мн. терапевтических методов, осн. на этих векторах, эклектически ориентированный… …   Психологическая энциклопедия

  • Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ  совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… …   Википедия

  • Векторное исчисление — Векторное исчисление  раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторный анализ подразделяется на… …   Википедия

  • Векторное поле — Векторное поле  это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… …   Википедия

Книги

  • Векторный анализ, Валентинер С.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Векторный анализ раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух… Подробнее  Купить за 1475 руб
  • Векторный анализ, С.П. Фиников. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Векторный анализ является математической дисциплиной почти столь же наглядной,как и сама геометрия; в… Подробнее  Купить за 1363 руб
  • Векторный анализ, Фиников С.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося советского математика С.П. Финикова, представляющая собой классический курс векторного анализа. Во введении дается краткий очерк истории… Подробнее  Купить за 442 руб
Другие книги по запросу «ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»