- ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
на многообразии M- сечение касательного расслоения
. Множество В. п. образует модуль над кольцом Fдифференцируемых функций на М.
Пример 1. Для карты
многообразия Мопределяется i-е базисное В. п. д/дxi по формуле 
есть i-й базисный касательный вектор к Мв точке р, и любое В. п. однозначно представляется в виде
наз. компонентами В. п. Xв карте 
. В. п. является дифференцированием кольца F, вследствие чего множество В. п. образует относительно операции коммутирования (скобки Ли) алгебру Ли.
Пример 2. Для карты
и 
функция 
определяется формулой
где
- частная производная по 
наз. производной от 
по направлению X. Пример 3. Для карты 
и 
коммутатор (скобка Ли) [X, Y]В. п.
определяется формулой
он удовлетворяет соотношениям:
в частности
Каждое В. п. Xиндуцирует на Млокальный поток- семейство диффеоморфизмов окрестности U
такое, что
для 
и
- интегральный путь В. п. X, т. е.
где
- - В. п., касательное к отображению 
. И наоборот, В. п. Xассоциировано с локальным потоком 
- вариацией отображения 
; при этом
Каждое В. п. определяет дифференцирование Ли LX тензорного поля типа
со значениями в векторном пространстве (инфинитезимальное преобразование 
), соответствующее локальному потоку 
частными случаями к-рого являются действие В. п. на 
и скобка Ли
В. п. без особенностей порождает на Минтегрируемую одномерную дифференциальную систему и ассоциированную с ней Пфаффа систему.
Обобщением понятия В. п. на многообразии является В. п. вдоль отображения
- сечение расслоения 
, индуцированного 
, а также тензорное поле типа 
- сечение ассоциированного с 
при помощи функтора 
расслоения 
.
Лит.:[1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [2] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [3] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [4] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., I960; [5] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [6] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964. А. Ф. Щекутьев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
