ВЕЙЛЯ МЕТОД это:

ВЕЙЛЯ МЕТОД

в теории чисел - метод для получения нетривиальных оценок тригонометрич. сумм вида


где

а an,...,a1 - любые действительные числа. В. м. был разработан Г. Вейлем [1] для установления критериев равномерного распределения (см. Вейля критерий).

Сущность В. м. заключается в следующем. Сумма (1) возвышается в степень путем последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена . Напр., на первом шаге


где суммирования производятся по интервалам длины ,


является многочленом степени относительно (символы обозначают величины порядка Р). На (n- 1)-м шаге приходят к внутренней сумме


где Суммы вида (2) оцениваются с помощью неравенства:


В результате получается оценка:


Из неравенства (3) выводятся различные оценки суммы (1) в случае, когда будет величиной малой по сравнению с Р. Эти оценки зависят от точности, с к-рой коэффициент многочлена аппроксимируется рациональными дробями.

Пример. Пусть


Тогда имеет место неравенство

'

В частности, если


то


В. м. позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки (3) и ее следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена . Решение Варинга проблемы, данное в 1919 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литл-вудом (J. Е. Littlewood), опиралось на оценки сумм (1) с помощью В. м. При этом им удалось оценить значения , для к-рых уравнение


( - целое, -целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки (3) на случай функций , не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению нек-рых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотич. формуле для числа простых чисел, не превосходящих N).

Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью В. м., объясняется высокой степенью r0, в к-рую возвышается сумма S(f). Нек-рое усовершенствование оценок сумм (1) дал И. ван дер Корпют (J. van der Corput). С помощью Виноградова метода получается весьма точная оценка сверху для интеграла


уже при ( - константа, ). Из этой оценки (см. Виноградова теорема о среднем) выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля (1) (с понижающим множителем - константа), недосягаемые для В. м.

Лит.:[1] Wеуl Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313 - 52; [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. Б. М. Бредихин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЕЙЛЯ МЕТОД" в других словарях:

  • ВЕЙЛЯ СУММА — тригонометрическая сумма вида где а любые действительные числа. В. с. применяются при решении многих известных проблем теории чисел. Первый метод нетривиальных оценок сумм (*) был разработан в 1916 Г. Вейлем (см. Вейля метод). Принципиально… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕЙЛЯ КРИТЕРИЙ — основной критерий, с помощью к рого для бесконечной последовательности ( ) любых действительных чисел х n решается вопрос о ее равномерном распределении по mod 1, т. е. устанавливается существование предела: где , дробная часть . По В. к.… …   Математическая энциклопедия

  • Метод тригонометрических сумм — Один из самых сильных и общих методов аналитической теории чисел  метод тригонометрических сумм  был создан И. М. Виноградовым. Многие проблемы аналитической теории чисел довольно просто формулируются на языке конечных сумм… …   Википедия

  • Вейля-Феликса реакция — (устар.; Е. Weil, 1880 1922, австрийский микробиолог; A. Felix, 1887 1956, чешский бактериолог) метод диагностики сыпного тифа и некоторых других риккетсиозов, основанный на реакции агглютинации сыворотки больного с диагностикумами из штаммов… …   Большой медицинский словарь

  • ВИНОГРАДОВА МЕТОД — новый метод оценок три гонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод). В. м. позволяет получить очень точные оценки для широкого класса тригонометрич. сумм, в к рых переменная суммирования пробегает значения последовательных целых чисел,… …   Математическая энциклопедия

  • Суммы Вейля — Содержание 1 Определение 2 Рациональные суммы Вейля 3 Примеры рационал …   Википедия

  • Бабинского-Вейля звездная проба — (J. F. F. Babinski, 1857 1932, франц. невропатолог; М. P. Weil; син.: Бабинского звездная проба, Бабинского Вейля проба, тест углового отклонения) метод выявления одностороннего поражения вестибулярного аппарата и полушарий мозжечка, основанный… …   Большой медицинский словарь

  • НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД — линейный метод приближения, обеспечивающий на заданном множестве приближаемых элементов наименьшую, по сравнению с другими линейными методами, погрешность. В линейном нормированном пространстве Xлинейный метод приближения элементов элементами… …   Математическая энциклопедия

  • ДИСПЕРСИОННЫЙ МЕТОД — в теории чисел метод для решения нек рых бинарных уравнений (бинарных аддитивных проблем )вида где a и b принадлежат к достаточно густым и хорошо распределенным в арифметич. прогрессиях последовательностям натуральных чисел. Д. м., разработанный… …   Математическая энциклопедия

  • ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — z ф у нкция, 1) Д. ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д. ф. и их обобщения в виде L функций (см. Дирихле L функции )лежат в основе современной аналитич.… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ВЕЙЛЯ МЕТОД» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»