ВЕЙЛЯ ГРУППА

1) В. г. симметрий корневой системы. В зависимости от конкретной реализации корневой системы рассматривают п различные В. г.; так возникают В. г. полупростой расщепляемой алгебры Ли, В. г. симметрич. пространства, В. г. алгебраич. группы.

Пусть - связная аффинная алгебраич. группа, определенная над алгебраически замкнутым полем k. В. г. группы относительно тора наз. факторгруппа рассматриваемая как группа автоморфизмов тора Т, индуцированных сопряжениями Тс помощью Здесь - нормализатор, а - централизатор подгруппы Тв G. Группа конечна. Если - максимальный тор, то наз. группой Вейля алгебраической группы G. Это определение (с точностью до изоморфизма) не зависит от выбора максимального тора . Действие с помощью сопряжений группы на множестве Бореля подгрупп в G, содержащих Т ₀, индуцирует просто транзитивное действие на . Действие Г на G сопряжениями индуцирует присоединенное действие Тна алгебре Ли группы . Пусть Ф( Т, G) - множество ненулевых весов весового разложения относительно этого действия, т. е. - корневая система относительно (см. Вес представления), является подмножеством в группе Х(Т).рациональных характеров тора Т, причем Ф( Т, G).инвариантно относительно действия на Х(Т).

Пусть G - редуктивная группа, - связная компонента единицы ее центра и - максимальный тор. Векторное пространство

канонически отождествляется с подпространством в векторном пространстве

Множество (как подмножество в ) является приведенной системой корней в , причем естественное действие на определяет изоморфизм с В. г. корневой системы . Таким образом, обладает всеми свойствами В. г. приведенной корневой системы, напр, она порождается отражениями.

Как обобщение этой ситуации возникает В. г. системы Титса (ее точное определение см. Tunica система).

Группа Вейля Wконечномерной редуктивной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики определяется как В. г. ее присоединенной группы. Присоединенное действие Wв подалгебре Картана ал-гобры является точным представлением W;группу Wчасто отождествляют с образом этого представления, рассматривая ее как соответствующую линейную группу в , порожденную отражениями. Понятие "В. г." впервые появилось в работе Г. Вейля [1] для частного случая рассматриваемых здесь алгебр - для конечномерной полупростой алгебры Ли над полем комплексных чисел. В. г. может быть определена и для любой расщепляемой полупростой конечномерной алгебры Ли как В. г. ее корневой системы.

Для аффинной алгебраич. группы G, определенной над алгебраически незамкнутым полем, может быть определена относительная В. г. А именно, если Т- максимальный разложимый над kтор группы G, то факторгруппа (нормализатора тора Тпо его централизатору в G), рассматриваемая как группа автоморфизмов Т, индуцированных сопряжениями Тс помощью элементов из i, наз. относительной группой Вейля группы С.

О В. г. симметрического пространства см. Симметрическое пространство. В. г. действительной связной некомпактной полупростой алгебраич. группы совпадает с В. г. соответствующего симметрического пространства. Об аффинной В. г. см. Корневая система.

Лит.:[1] Weyl Н., "Math. Z.", 1925, Bd 2Л, S. 271 - 309; 1925, Bd 24, S. 328-95; [2] Боре л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [3] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [41 Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1972; [5] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967. т. 11, № 1, с. 43-111, №2, с. 3-31; [6] Брюа Ф., Титс Ж., "Математика". 1968, т. 12, № 5, с. 19-33; [7] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964. . В. Л. Попов.

2) В. г. компактной связной группы Ли G - факторгруппа , где N - нормализатор в G нек-рого максимального тора Тгруппы G. В. г. изоморфна нек-рой конечной группе линейных, преобразований алгебры Ли tгруппы Т(изоморфизм осуществляется с помощью присоедпненного представления Nв t).и может быть охарактеризована с помощью корневой системы алгебры Ли gгруппы G (относительно t), а именно: если - система простых корней алгебры, являющихся линейными формами на действительном векторном пространстве t, то В. г. порождается отражениями в гиперплоскостях Таким образом, Wявляется группой Вейля системы (как линейная группа в t). W просто транзитивно действует на множестве всех камер системы (называемых в данном случае камерами Вейля). Следует отметить, что N не является, вообще говоря, полупрямым произведением Wи Т;все случаи, когда это так, изучены. В. г. группы G изоморфна В. г. соответствующей комплексной полупростой алгебраич. группы G.p (см. Комплексификация группы Ли).

А. С. Феденко.