ВАРИНГА ПРОБЛЕМА это:

ВАРИНГА ПРОБЛЕМА

- проблема теории чисел, сформулированная Э. Варингом (Е. Waring) в 1770 в следующем виде: всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней. Другими словами: для любого существует такое , зависящее только от п, что любое натуральное число есть сумма А: п-х степеней неотрицательных целых чисел. Первое общее решение В. п. с очень грубой оценкой величины kв зависимости от пдано в 1909 Д. Гильбертом (D. Hilbert), в связи с чем В. п. иногда наз. проблемой Гильберта- Варннга. Если через обозначить число решений в целых неотрицательных числах уравнения


то теорема Гильберта утверждает, что существует , для к-рого при любом . В 1928 Г. X. Харди и Дж. И. Литлвуд (G. Н. Hardy, J . Е. Littlewood), применив к В. п. круговой метод, доказали, что при для имеет место асимптотич. формула вида


где , а н некоторые постоянные. Следовательно, при уравнение (1) имеет решение. В связи с этим результатом возникли три проблемы: установить порядок трех величин ,

- наименьших целых чисел, для к-рых: а) уравнение (1) разрешимо при и ; б) уравнение (1) разрешимо прп н ; в) для величины при имеет место асимптотнч. формула (2).

а) Известно, что . В 1934 И. М. Виноградов прп помощи созданного им метода доказал, что

.

Кроме того, имеется много результатов относительно G(n).для небольших значений п:(X. Давенпорт, Н. Davenport, 1939), (Ю. В. Линннк, 1942).

б) В 1936 Л. Диксон н С. Пиллан (L. Dickson, S. Pillai), применив Виноградова метод, доказали, что

для всех , для к-рых


Последнее же условие доказано К. Малером (К. Mahler) в 1957 для всех достаточно больших п.

в) Наилучший результат принадлежит И. М. Виноградову, к-рый доказал, что


Элементарное доказательство В. п. дано Ю. В. Линником в 1942. Существует много различных обобщений

В. п. (переменные пробегают нек-рое подмножество множества натуральных чисел; вместо одночленов в представлении числа Nрассматриваются многочлены ; вместо уравнения (1) рассматривается сравнение и т. д.).

Особое значение В. п. состоит в том, что пря ее решении созданы мощные методы аналитической теории чисел.

Лит.[1] Виноградов И. М., Избранные труды, М., 1952; [2] его же. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел, пер. е нем., М., 1964; [4] Делоне Б Н., Петербургская школа теории чисел, М.- Л., 1947; [5] Xинчин А. Я., Три жемчужины теории чисел, 2 изд., М.-Л., 1948. А. А. Карацуба.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВАРИНГА ПРОБЛЕМА" в других словарях:

  • Варинга проблема —         проблема теории чисел, сформулированная (без доказательства) английским математиком Э. Варингом в 1770; любое целое число Ni может быть представлено в виде суммы:          N=a1n+...+ank         некоторого числа k слагаемых, каждое из… …   Большая советская энциклопедия

  • ГОЛЬДБАХА - ВАРИНГА ПРОБЛЕМА — задача о поведении числа решений уравнения где простые числа, (см. Варинга проблема, Гольдбаха проблема). В этой проблеме получены (к 1977) примерно те же результаты, что и в проблеме Варинга: разрешимость этого уравнения (т. е. неравенство )… …   Математическая энциклопедия

  • Проблема Варинга — В 1770 г. Варинг выдвинул гипотезу[1], что при каждом целом существует такое число , что всякое натуральное число может быть представлено в виде с целыми неотрицательными . Эта гипотеза получила название проблема Варинга. Сегодня так на …   Википедия

  • Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.          Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 …   Большая советская энциклопедия

  • АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз.… …   Математическая энциклопедия

  • КРУГОВОЙ МЕТОД — один из наиболее общих методов аддитивной теории чисел. Пусть произвольные множества натуральных чисел, N натуральное число и число решений уравнения где Изучением величин занимается аддитивная теория чисел; напр., если доказать, что , больше… …   Математическая энциклопедия

  • АДДИТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ — проблемы теории чисел о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида. Решение классич. А. п. привело к созданию новых методов в теории чисел. К классич. А. п. относятся: 1) Гольдбаха проблема о представлении нечетных натуральных чисел,… …   Математическая энциклопедия

  • Виноградов — I Виноградов         Александр Павлович [р. 9(21).8.1895, Петербург], советский геохимик, академик АН СССР (1953: член корреспондент 1943), вице президент АН СССР (1967), Герой Социалистического Труда (1949). Окончил Военно медицинскую академию и …   Большая советская энциклопедия

  • Варинг —         Уэринг (Waring) Эдуард (1734, Олд Хит, близ Шрусбери, 15.8.1798, Плили в Понтсбери), английский математик. Профессор Кембриджского университета (с 1760), член Лондонского королевского общества (1763). Основные труды по алгебре… …   Большая советская энциклопедия

  • Линник — I Линник         Владимир Павлович [р. 24.6(6.7).1889, Харьков], советский физик, академик АН СССР (1939). Окончил Киевский университет (1914). С 1926 работает в Государственном оптическом институте. Профессор ЛГУ (с 1934). Первые работы Л. по… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»