ЭМДЕНА УРАВНЕНИЕ

- нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

или, в самосопряженной форме,

где - константа. Точка х=0является для Э. у. особой. Заменой переменной уравнение (1) приводится к виду

а заменой - к виду
После замены переменных

и последующего понижения порядка подстановкой и'=v (и)получается уравнение 1-го порядка

Уравнение (1) было получено Р. Эмденом [1] в связи с изучением условий равновесия политропного газового шара; эта задача сводится к задаче существования у уравнения (1) с начальными условиями y(0)=l, у'(0)=0 решения, определенного на нек-ром отрезке и обладающего свойствами:

Иногда уравнение (1) наз. также уравнением Ленна - Эмдена.
Более общими, чем Э. у., являются уравнение Фаулера

и уравнение Эмдена-Фаулера

где - действительные параметры. Как частный случай это уравнение включает уравнение Томаса - Ферми

возникающее при изучении распределения электронов в атоме. Если то уравнение (2) заменой переменных может быть преобразовано к виду

Имеются различные результаты качественного и асимптотич. исследования решений уравнения Эмдена - Фаулера (см., напр., |2], 13)). Подробно изучалось также уравнение типа Эмдена - Фаулера

(см. о нем и его аналоге п-го порядка в [4]).

Лит.:[1] Emden R., Gaskugeln, Lpz.-В., 1907; [2] Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954; [3] Келлман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1954; [4] Кигурадзе И. Т., Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тб., 1975.
H. X. Розов.