ВАРИАЦИЯ

- термин, введенный в математику Ж. Лагранжем [1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод В.- метод исследования .экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и назв. Вариационное исчисление).

Пусть X - нек-рое пространство, на к-ром задан функционал , а V - пространство нек-рых параметров. Под вариацией аргумента понимают обычно кривую в пространстве X, проходящую через в определенной близости от ограничений, причем соответствует значение . Когда пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определенное семейство кривых, исходящих из точки х ₀ . В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяют вариации по направлениям, когда и В этом случае В. наз. вектор v. Однако в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяют и др. классы В., напр, ломаные В., игольчатые В., В., связанные со скользящими режимами (см. [2], [3]). Выбор пространства В. и построение самих В.- важнейший элемент при получении необходимых условий экстремума. См. такн?е Вариация функционала, Гато производная, Фреше производная, Функциональная производная.

Лит.:[l] Lagrange J., Essai d'une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des (ormules integrates indefinies, Turin, 1762; [2] Б лисе Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969. ' В. М. Тихомиров.