ЭКСЦЕССИВНАЯ ФУНКЦИЯ

для марковского процесса - аналог неотрицательной супергармонической функции.
Пусть в измеримом пространстве задана однородная марковская цепь с вероятностями перехода за один шаг Измеримая относительно функция наз. эксцессивной функцией для этой цепи, если

всюду в Е. Для цепи с не более чем счетным множеством состояний среди Э. ф. есть отличные от констант тогда и только тогда, когда хоть одно из состояний невозвратно.
При заданном в однородном марковском процессе с переходной функцией P(t,x, В )определение Э. <ф. несколько усложнится. Множество Вотносят к -алгебре если для любой конечной меры на найдутся такие множества и что Функция наз. эксцессивной функцией, если она -измерима и при удовлетворяет всюду в Есоотношениям

и

Для части винеровского процесса в нек-рой области (см. Функционал от марковского процесса) совпадает с классом неотрицательных супергармонических в Ефункций, пополненным функцией
В случае стандартного процесса Xв локально компактном сепарабельном пространстве Е, для Э. ф. f(х) всюду в Евыполняется неравенство
где -марковский момент, М _х - математическое ожидание, отвечающее мере Р _х, и где положено при Другое часто используемое свойство Э. ф. состоит в том, что Р _х - почти наверное случайная функция f (х ^t) непрерывна справа на интервале (см. [3]).
Э. ф. наз. гармонической, если, как бы ни задавался компакт выполняется где -момент первого выхода Xиз К. Потенциалом наз. любую Э. ф. для к-рой

при любом выборе марковских моментов таких, что при Для части винеровского процесса в области гармонич. функции и потенциалы, это, соответственно, неотрицательные в Егармонические в классич. смысле функции и потенциалы Грина борелевских мер, сосредоточенных в Е.
Примером потенциала служит потенциал аддитивного функционала от X, если Э. ф. является потенциалом аддитивного функционала в том и только том случае, когда

где - момент 1-го попадания в множество
В рамках аксиоматич. теории гармонич. пространств Брело все неотрицательные супергармонич. функции являются Э. ф. для нек-рого стандартного процесса.
См. также Мартина граница, Ляпунова стохастическая функция.

Лит.:[1] Хант Дж.-А., Марковские процессы и потенциалы, пер. с англ., М., 1962; [2] Ширяев А. Н., Статистический последовательный анализ, 2 изд., М., 1976: [3] Дынкин Е. Б., Марковские процессы, М., 1963; [4] Getoor R. К., Markov processes: Ray processes and right prosesses, В., 1975; [5] Шур М. Г., лМатем. заметки