ШАУДЕРА МЕТОД

ШАУДЕРА МЕТОД

- метод решения краевых задач для линейных равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка, в основе к-рого лежат априорные оценки и метод продолжения по параметру.
Ш. м. решения Дирихле задачи для линейного равномерно эллиптического уравнения


заданного в ограниченной области евклидова пространства точек x=(x1, x2, ..., х п )и с коэффициентом описывается следующим образом.
1. Вводятся пространства как множества функций u=и(x)с конечными нормами


2. Предполагается, что граница s области принадлежит классу т. е. каждый элемент -мерной поверхности может быть отображен на часть плоскости с помощью преобразования координат у=у (х)с положительным якобианом, причем функция

3. Доказывается, что если коэффициенты уравнения (1) принадлежат пространству и функция то справедлива априорная оценка вплоть до границы


где постоянная Сзависит только от постоянной эллиптичности и норм коэффициентов оператора L, а

4. Считается известным метод доказательства существования решения задачи Дирихле
для оператора Лапласа

5. Не нарушая общности, полагается и затем реализуется метод продолжения по параметру, сущность к-рого состоит в том, что:

Оператор Lвкладывается в однонараметрическое семейство операторов

Существенно опираясь на априорную оценку (2), устанавливается, что множество Ттех значений параметра для к-рых задача Дирихле имеет решение при любых является одновременно открытым и, стало быть, совпадает с единичным отрезком [0, 1].

6. Доказывается, что если D - ограниченная область, содержащаяся в вместе со своим замыканием, то для любой функции и каждой компактной подобласти справедлива внутренняя априорная оценка:

7. Равномерно аппроксимируя заданные функции и f с помощью функций из класса и применяя оценку (3). показывается существование решения задачи Дирихле для любой непрерывной граничной функции и широкого класса областей с негладкими границами, напр, для областей, представимых как объединение последовательностей областей границы к-рых имеют такую же гладкость, что и
Оценки 2 и 3 получены впервые Ю. Шаудером (см. [1],[2])и носят его имя. Оценки Шаудера и его метод обобщены на уравнения и системы высшего порядка. Соответствующие им как внутренние, так и вплоть до границы, априорные оценки иногда наз. оценками шаудеровского типа. Дальнейшим развитием Ш. м. является метод априорных оценок.

Лит.:[l] Schauder J., лMath. 7.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ШАУДЕРА МЕТОД" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД — ряд вида где ортонормированная система функций (онс) относительно меры : Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов математики, астрономии, механики и физики (движение планет, колебание струн, мембран и др.) в исследованиях Л. Эйлера (L.… …   Математическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами. то существует такой элемент , что элемент хназ. пределом… …   Математическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ — интегральное уравнение вида Ф. у. 1 го род а, или вида Ф. у. 2 го рода, если интегральный оператор является вполне непрерывным в нек ром функциональном пространстве Е. Предполагается, что свободный член f и искомая функция принадлежат… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на два основных класса: линейные И. у. и нелинейные И. у. Линейные И. у. имеют вид где А, К, f заданные функции, из которых Аназ. коэффициентом, К ядром, f свободным членом …   Математическая энциклопедия

  • Неподвижная точка — Отображение с тремя неподвижными точками В математике, неподвижная точка отображения точка, которую отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения …   Википедия

  • Лере Жан — Лере (Leray) Жан (р. 7.11.1906, Шантене), французский математик, член Парижской АН (1953). Учился в Высшей нормальной школе, с 1947 профессор в Коллеж де Франс. Основные работы в области функционального анализа (метод неподвижной точки Лере… …   Большая советская энциклопедия

  • Лере — (Leray)         Жан (р. 7.11.1906, Шантене), французский математик, член Парижской АН (1953). Учился в Высшей нормальной школе, с 1947 профессор в Коллеж де Франс. Основные работы в области функционального анализа (метод неподвижной точки Лере… …   Большая советская энциклопедия

  • ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаками дифференциальных и интегральных операций. И. д. у. включают и интегральные и дифференциальные уравнения. Линейные И. д. у. Пусть f(x) заданная функция, дифференциальные выражения с достаточно… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»